数学建模(微分方程)最新.ppt

微分方程模型简介 涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑” 等等词语的确定性连续问题。 1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式 变化率（微商）=单位增加量--单位减少量 3、用微元法建立微分方程； 4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）； 5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）； 6、模型和结果的讨论与分析。 饿狼追兔问题 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？ 求物体的温度--作案时间的确定 寻找嫌疑犯 受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。 分离变量积分得： 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 第四节 稳定性模型 一、微分方程的稳定性理论 一、微分方程的稳定性理论 一、微分方程的稳定性理论 一、微分方程的稳定性理论 渔业资源是一种再生资源，要适度开发，应当在持续稳产的前提下追求产量或最优经济效益，下面要讨论在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。 军备竞赛模型 三、军备竞赛模型 Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口 总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型， 考虑人口年龄分布的模型等。 Usher模型 人口模型的推广应用 放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断） 经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等） 动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题， 种群问题） 浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等） 思考 请你预测中国14亿、15亿人口日。 你怎么证明中国使世界60亿人口日推迟了4年？ 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。 1、一阶微分方程的平衡点及其稳定性 称为一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 称为微分方程的平衡点，在平衡点有： 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 称为平凡解。 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 例如对于产量模型 平衡点 (1)的近似线性方程 E~捕捞强度 r~固有增长率 则 例如对于产量模型，已求得稳定点为： 稳定性判断方法： 所以，有： x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 2、线性常系数微分方程组的平衡点及稳定性 对于线性常系数微分方程组 的根P0(x0,y0)称为 代数方程组 微分方程组的平衡点， 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点。 稳定性判断方法： 记系数矩阵 特征方程 特征根为： 此微分方程组一般解形式为 平衡点 P0稳定 平衡点 P0不稳定 ?1,2为负数或有负实部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 平衡点为： 稳定性判断： 系数矩阵 平衡点(x0, y0)稳定的条件 例如军备竞赛模型 3、二阶微分方程的平衡点及其稳定性 二阶非线性微分方程可化为： 的平衡点及其稳定性 平衡点：代数方程组 的根P0(x10, x20) 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 平衡点 P0稳定(对2,1) p 0 且 q 0 平衡点 P0不稳定(对2,1) p 0 或 q 0 问题背景 模型对于林业等其它再生资源的合理开发与利用同样适用。 问题分析 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 假设 其中r为固有增长率, N为最大鱼量 2）单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 下面不需