第三章节有限差分法.doc
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有限差分法
波动方程式的差分法（线性双曲线方程）
即前进波波动方程（又称为移动方程或传递方程：convection equation）
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 1 ）
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 2 ）
从此方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。
理论解：
物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度c前进。（前进波）
f(x) c f(x-ct)
ct
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 3 ）
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 4 ）
其中：
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 5 ）
例：
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 6 ）
即 （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 7 ）
其解为： （ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 8 ）
x
x
u
1
x0
显式法
对于发展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法（explicit time integration method）。
FTCS（Forward in Time and Central Difference in Space）方法
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 9 ）
则能产生：
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 10 ）
变形后:
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 11 ）
这儿，? 为Courant 数。
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 12 ）
Courant 数表示物理的传播速度c和数值传播速度(?x/?t)的比值。
该解的特性如图的三角形所示，的值由和所确定。当比值?x/?t保持一致时，不管?x和?t取多小，其影响的范围是一样的。
当物理传播速度c比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。(如图绿线所示)，也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将不安定。1928年Courant、Friedrich、Lewy因此而提出了所谓Courant条件。
x
x
t
Tan-1(?t/ ?x)
物理速度走的路程（Cu1）
数值速度走的路程
物理速度走的路程（Cu1）
FTCS法的解的发展
即Courant 条件为（CFL条件）
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 13 ）
但是波动方程不能由此方法判别的例子有：
（ STYLEREF 1 \s 3 SEQ （ \* ARABIC \s 1 14 ）
此问题有理论解，如图。例如，?＝0.5时，时间步长为1/2?x。
xu
x
u
1
x0
x
u
1
x0
解析解 FTCS的解
表1 FTCS的解 （?＝0.5）
xj-2
xj-1
xj
xj+1
xj+2
t=0
1
1
0
0
0
t=1
1
5/4
1/4
0
0
t=2
15/16
23/16
9/16
0
0
t=3
53/64
49/32
75/64
13/64
0
其值是振荡不稳定的。随着时间的延续，振幅增加，甚至在正负值间振荡。此问题可从分析其差分
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