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有限差分法-导热模拟

有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一种数值计算法。其基



本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转



换为求解网格节点上的差分方程组的问题。

一、利用有限差分法离散三维傅立叶热传导微分方程：

222

TTTT

2

T（1-1）

t222

xyz

Z

6(i,j,k)

2(i+1,j,k)

3(i,j-1,k)

Y

0(i,j,k)4(i,j+1,k)

1(i-1,j,k)

5(i,j,k-1)

X

图1三维节点图

解：将三维温度场域划分为足够小的正方体网格，网格之间距离为，图一显示为节h

0(i,j,k)及其周围的节点1(i-1,j,k)、2(i+1,j,k)、3(i,j-1,k)、4(i,j+1,k)、5(i,j,k-1)、

6(i,j,k+1)。节点上的电位分别用T，T，T，T，T，T，T表示

0123456

由有限差分法得：

2T2TT

TT(i1，j，k)2T(i，j，k)T(i1，j，k)

()102（1-2）

x2xx0h2h2

同理：

T2T2TTT(i，j1，k)2T(i，j，k)T(i，j1，k)

()304（1-3）

y2yy0h2h2

2T2TT

TT(i，j，k1)2T(i，j，k)T(i，j，k1)

()506（1-4）

z2zz0h2h2

将时间划分为足够小的时间段，时间节点之间的距离为，则采用有限差分法的后向tg

差分法得：

dTTTnn1

（1-5）

dtg

将式（1-2）、（1-3）、（1-4）、（1-5）代入式（1-1）得：

n