2.波函数及Schrodinger方程.ppt

第二章 波函数和 Schrodinger 方程;§1 波函数的统计解释; 3个问题？ ;电子源;2. 粒子由波组成;;结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。; 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的 基本原理。;（三）波函数的性质;（2） 平方可积;（3）归一化波函数;归一化常数;（4）平面波归一化;II 平面波 归一化;三维情况：;作 业 补 充 题;问题？;§2 态叠加原理;（一） 态叠加原理;考虑电子双缝衍射 ;态叠加原理一般表述： 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ...(其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...;例：;（二）动量空间（表象）的波函数;若Ψ (r,t)已归一化，则 C(p, t)也是归一化的;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;作业解答 ; 解：（I）;可见，在;（II）;§3 力学量的平均值和算符的引进;（一）力学量平均值;（1）坐标平均值;（二）力学量算符;一维情况：;比较上面二式得两点结论：; 由归一化波函数ψ(r)求 力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在ψ*(r)和ψ(r)之间,对全空间积分，即;（2）动能算符;（4）Hamilton 算符;作 业 ;§4 Schrodinger 方程; 这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方程之后得到了圆满解决。;（二）引进方程的基本考虑;（2）量子情况;（三） 自由粒子满足的方程;满足上述构造方程的三个条件;（四）势场 V(r) 中运动的粒子;（五）多粒子体系的 Schrodinger 方程;多粒子体系 Hamilton 量;§5 粒子流密度和粒子数守恒定律;（一） 定域几率守恒;证：;在空间闭区域τ中将上式积分，则有：;讨论：;（二）再论波函数的性质;式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。 概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。;量子力学基本假定 I 波函数完全描述粒子的状态;§6 定态Schrodinger方程;（一）定态Schrodinger方程; 该方程称为定态 Schrodinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。;（二）Hamilton算符和能量本征值方程;（2）能量本征值方程;（三）求解定态问题的步骤;（四）定态的性质;综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一个时，Ψ就是定态波函数： 1. Ψ描述的状态其能量有确定的值； 2. Ψ满足定态Schrodinger方程； 3. |Ψ|2 与 t无关。;例：;2. 定态薛定谔方程的解: 在势阱内，薛定谔方程为: ;3. 能级与波函数 考虑波函数标准条件:单值,有界,连续 要求波函数在阱内外要连续。所以现在 ; (2) 所以， ;二者合起来可写为：;4. 讨论;2） 描述的是束缚态 所谓束缚态是当 时， 。 即粒子被约束在有限的区域内运动。 本例中粒子运动被约束于势阱中。;3）与经典粒子的运动进行比较;最低能级的四个本征函数;[方法小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看出，解S—方程的一般步骤如下：;例：方形势阱;α2;方程的解;解化简为;①? ②得：;可见;这个超越方程只能进行数值求解，能量本征值;2. 无限深方势阱;3. 半壁无限深方势阱;作业