高等数字信号处理第2章 现代谱估计.ppt

第二章 现代谱估计 现代谱估计概述 AR模型谱估计 线性预测 Burg算法 ARMA模型谱估计 扩展Prony方法 多重信号分类(MUSIC)法 2.1 现代谱估计概述 经典谱估计的主要问题 基于信号参数模型的谱估计方法 2.2 AR模型谱估计 AR模型的正则方程 Levinson-Durbin算法 AR谱估计的自相关法 AR模型阶次的选择 AR模型谱估计的性质 2.2.1 AR模型的正则方程 假定 、 都是实平稳的随机信号， 为白 噪声，方差为 ， 为服从AR过程的因果信号。 由AR模型的差分方程，有 将上式两边同乘以 ，并求均值，得 2.2.1 AR模型的正则方程 (a) 式中， 为AR模型的单位取样响应。由z变换 的性质 ，当 时，有 。 将之代入上式，有 (b) 2.2.1 AR模型的正则方程 综合式(a)与式(b)，有 在上述推导中，应用了实信号自相关函数的偶对 称性，即 。由上式可得 个方 程，写成矩阵形式为 2.2.1 AR模型的正则方程 上述两式即为AR模型的正则方程，又称Yule- Walker方程。 2.2.1 AR模型的正则方程 需要指出的是，上式中的自相关矩阵为Toeplitz 矩阵；若 是复过程，那么 ，则 其自相关矩阵是Hermitian对称的Toeplitz矩阵。 这类矩阵具有一系列好的性质，利用这些性质， 可以找到快速求解AR模型参数的高效算法。 2.2.2 Levinson-Durbin算法 Levinson-Durbin递推算法是求解Yule-Walker 方程的快速有效算法，这种算法利用了方程组系 数矩阵（自相关矩阵）所具有的一系列好的性， 使运算量大大减少。 其推导的方法有多种，这里只介绍一种较为简便 的推导方法。 设已求得 阶Yule-Walker方程 2.2.2 Levinson-Durbin算法 2.2.2 Levinson-Durbin算法 的参数 ，要求解的m 阶Yule-Walker方程为 2.2.2 Levinson-Durbin算法 (b) 2.2.2 Levinson-Durbin算法 为此，将式(a)的系数矩阵增加一行和增加一列，成为下式： 2.2.2 Levinson-Durbin算法 (c) 2.2.2 Levinson-Durbin算法 式中 利用前述的系数矩阵的特点，将式(c)的行倒序， 同时列也倒序，得到 2.2.2 Levinson-Durbin算法 (d) 2.2.2 Levinson-Durbin算法 将待求解的m阶Yule-Walker方程表示成式(c)和 式(d)的线性组合形式，即 (e) 2.2.2 Levinson-Durbin算法 或 式中， 是待定系数，称为反射系数。式(e)两 边各右乘以m阶系数矩阵，得到 (f) 2.2.2 Levinson-Durbin算法 由式(f)可求出 由式(c)的第一个方程可求出 从上面的推导中可归纳出由m-1阶模型参数求m 阶模型参数的计算公式如下： 2.2.2 Levinson-Durbin算法 对于AR(p)模型，递推计算直到p阶为止。 2.2.3 AR谱估计的自相关法 已知N点观测数据 和AR的阶 数p，则AR谱估计可按下述步骤来进行： 由已知的 估计 令 2.2.3 AR谱估计的自相关法 用 代替L-D递推算法式中的 ，对于 ，重新求解Yule-Walker方程，这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值，即 和 将这些参数代入下式，得到 的功率谱的估计，即 2.2.3 AR谱估计的自相关法 若在（0，2π）内对 进行N点均匀抽样，则得 到离散谱 式中， 。 2.2.4 AR模型阶次的选择 FPE准则（最