北京交通大学清华大学版微积分第3章习题课.ppt

第三章习题课 * 中值定理及其应用 习题课 一、教学要求 1. 理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange) 2. 了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理. 3. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数 定理. 的单调性和求极值的方法. 5. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限. 6. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和 曲率半径. 4. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点, 会求解最大值和最小值的应用问题. 会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线). 1.微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (3) 证明恒等式或不等式 (4) 证明有关中值问题的结论 (2) 证明方程根的存在性 (5) 求未定式的极限 利用 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在, 若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用 若已知条件中含高阶导数, 若结论中含两个或两个以上的中值, 3.有关中值问题的解题方法 (1) 可用原函数法找辅助函数. (2) 柯西中值定理. 中值定理. (3) (4) 有时也可考虑 多考虑用泰勒公式, 逆向思维, 设辅助函数. 多用罗尔定理, 必须多次应用 对导数用中值定理. (1) 研究函数的性态: 增减, 极值, 凹凸, 拐点, 渐近线, 曲率 (2) 解决最值问题 目标函数的建立 最值的判别问题 (3)其他应用: 求不定式极限; 几何应用; 相关变化率; 证明不等式; 研究方程实根等. 4.导数应用 二、典型例题 在 内可导,且 证明 在 内有界. 证 再取异于 的点 在以 为端点的区间上用 定数 对任意 即证. 例 取点 拉氏定理, 在 内可导,且 证明至少存在一点 使 上连续,在 问题转化为证 设辅助函数 用罗尔定理, 使 即有 例 证 分析 在 内可导,且 试证存在 使 上连续,在 例 欲证 f (x)在[ a , b ]上用 故有 即要证 证 又 f ( x )及 在[ a , b ]上用 将(1)代入(2),化简得 故有 拉氏定理, 柯西定理, (1) (2) 例 证 介值定理 上分别用 使得 拉氏定理, (1) (2) 由(1),有 得 (1) (2) 由(2),有 例 分析 构造辅助函数F(x), 则问题转化为 的零点存在问题. 证 设 设 罗尔定理 使得 因此必定有 且在 上 存在,并 单调递减,证明对一切 有 证 则 所以当 时, 令 得 即所证不等式成立. 设 例 设 亦可用拉氏中值定理证明,不妨设ab 在[0,a][b,a+b]上分别用定理。 例 解 例 证 法一 用单调性 设 即 由 证明不等式 可知, 即 法二 用拉格朗日定理 设 拉格朗日定理 由 得 即 例 判断方程 有几个实根, 并指出各个根所在的区间. 解 (1) 即 设 令 得驻点 唯一的驻点 又 所以, 是最小值点, 最小值为 所以, 所以, (2) 自己证! * *