清华大学微积分习题课.pdf

第 4 周习题课内容 数列和函数的极限 一、数列的极限 e （与自然对数的底 有关的极限） n ⎛ 1⎞ n 1 0! 1 例 1．回忆自然对数的底定义， ，求证e lim ，这里约定 。 : lime 1+ ⎜ ⎟ ∑ n →+∞ →+∞ ⎝ n ⎠ n k 0 k ! n 1 证明：记bn : ∑ ，则显然{ }bn 单调增。进一步注意到 k 0 k ! 1 1 1 1 k ∀2 ≥ ≤ − ， ， k k k k k(! 1) − −1 由此得到 n 1 m ⎛ 1 1⎞ 1 b 2 + − 21 3 ， ∑ ≤ +∑ ⎜ − ⎟ n k 0 k ! k k 2 ⎝k −1 ⎠ n 即数列 有界。根据单调收敛准则可知 收敛。记 { }bn { }bn blim bn 。 n →∞ n ⎛ 1⎞ 再考虑数 ，其中:a 1+ 。利用二项式展开（参见教科书）， e : a lim n n ⎜ ⎟ n →+∞ ⎝ n ⎠ 11 1 ⎛ 2 1⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ n −1⎞ ⎛ ⎞ 2 1 1 1 L 1 L 1− ， （*） + an − ⎜+ ⎟− ⎜ + +⎟⎜ − ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟