清华大学多元微积分期中考题第三稿A .doc

2008级多元微积分期中考题 (A) 2009.4 系名 班级 姓名 学号 填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！） 1．设，则＝ . 2．设，将展开为周期的正弦级数，则 . 3．设二元函数在全平面上可微，为平面上给定的一点，，则极限 . 4．设可微函数在点的梯度为，该函数在点的微分　　　　 　 　　. 极限 . 6. 函数 在点处函数值增长最快的方向是 . 7．设，其中连续可微，则 . 8． 由定义，则 . 9．曲线在处的切线方程为 . 10．二元函数在点的2阶带有Peano余项的Taylor展开式为 . 11．函数 在约束条件 下的最大值为 . 12．设曲面在某一点处的法线垂直于平面，则点的坐标 . 13．曲面在点的切平面方程为 . 14．设，则 . 15． 函数当时极限是否存在？ . （填“存在”或“不存在”） 计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！） 1．将函数展开成为周期的余弦级数，并求的和. 2．设函数由方程确定，其中有二阶连续偏导数， 求. 3．已知曲线 求曲线C上距离XOY平面最远和最近的点的坐标. 4. 计算积分 , 其中 . 证明题（请写出详细的证明过程！） 1．(8分) 设，其中在点处连续，证明在点处可微的充分必要条件是. 2．(7分) 设函数在区域上连续，在区域的内部有二阶连续偏导数且满足，在区域的边界上，，证明：当时， 。（提示：可用反证法证明）. 1