第四部分与 常微分方程数值解 .ppt

第四部分 常微分方程数值解法 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。 ?初值问题及其数值解的概念 1 引言 常用的一些解析解法： 常数变易法、积分因子等 分离变量法、变量变换、 一阶常微分方程初值问题： 对于初值问题 ，如果 在下列区域内连续： （解的存在唯一性） 且关于 满足Lipschitz条件，即存在常数 ，使 则初值问题 存在唯一解，且解是连续可微的。 所谓数值解是指：在解的存在区间上取一系列点 逐个求出 的近似值 等距节点： 步长 ?初值问题 的解析解及其数值解的几何意义： 初值问题 的解表示过点 的一条曲线 初值问题 的数值解表示一组离散点列 可用拟合方法求该组数据 的近似曲线 积分曲线 2 Euler方法 ?Euler方法的导出 将 在点 处进行Taylor展开 略去 项： 然后用 代替 ，即得 称上述公式为向前Euler 公式。 … … … … Euler，1707-1783 18世纪数学巨星 “分析的化身” 欧拉迭代格式： 若将 在点 处进行Taylor展开 略去 项： 然后用 代替 ，即得 称上述公式为向后Euler 公式。 向后Euler 公式为隐式格式，需要利用迭代法求解 解： 向前Euler公式： 例1：分别利用向前和向后Euler 方法求解初值问题的数值 解（取步长为 ） 向后Euler公式： 局部截断误差和阶 假设 是准确的，用某种方法计算 时产生的截 称 为某方法在点 的整体截断误差 断误差，称为该方法的局部截断误差。 其中 为自然数，则称该方法是 阶的或具有 阶精度。 如果给定方法的局部截断误差为 如向前Euler方法的局部截断误差 一阶方法 预测： 校正： 隐式的处理： 3 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法 若取其一组解 若取其另一组解 类似前面的处理方法，可以得到四级方法 局部截断误差 最常用的一种四阶方法： 解： 例2：用四阶Runge-Kutta 方法求解下列初值问题 。 经典的四阶Runge-Kutta公式： 4 方程组与高阶方程的数值解法 一、一阶微分方程组初值问题的一般形式 初始条件: 写成向量的形式: ?n=2对应的Runge-Kutta公式 作下列变量代换可将其化为一阶方程组的初值问题: 二、高阶微分方程初值问题的一般形式 可类似前述方法构造 相应的数值方法求解