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微分方程数值解及其应用

绪论

自然界中的许多事物的运动和变化规可以用微分方程来描述，因此对工程和

科学技术中的实际问题的研究中,常常需要求解微分方程．但往往只有少数较简单和

典型的微分方程可求出其解析解，在大多数情况下,只能用近似法求解，数值解法是

一类重要的近似方法．本文主要讨论一阶常微分方程的初值问题的数值解法，探讨这

些算法在处来自生活实际问题中的应用，并结合MATLAB软件，动手编程予以解决．

１微分方程的初值问题[1]

1.1预备知识

在对生活实际问题的研究中，通常需要考虑一阶微分方程的初值问题

dy

f(x,y)

dx（1）

y(x)y

00

xxa,yyb上的连续函数．

这fx,y是矩形区域：

R

00

对初值问题（1）需要考虑以下问题：方程是否一定有解呢?有解，有多少个解

呢?下面给出相关的概与定．

定义1条件[1][2]：矩形区域：xxa,yyb上的连续函数

LipschitzR

00



fx,y满足：存在常数L0，使得等式fx,yfx,yLyy对所有

1212



x,y,x,yR成，则称fx,y在上关于满足条件.

RyLipschitz

12

[1][3]

定1解的存在唯一性定：设在区域fDx,yaxb,yR上连



续，关于满足yLipschitz条件，则对任意的xa,b,yR常微分方程初值问题，（1）

00



当xa,b时存在唯一的连续解yx．

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该定保证一个函数关于满足条件，它所对应的微分方程

fx,yyLipschitz

的初值问题就有唯一解.在解的存在唯一性得到保证的前提下，自然要考虑方程的求

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解问题．求解微分方程虽然有多种解析方法，但根据工程和科学实践问题所得到的微

分方程往往很复杂，在很多情况下能或很难给出解析解，有时即使能求出形式解，

也往往因形式过于复杂或计算太