拉普拉斯变换-公开课件（讲义）.ppt

(6) 初值定理 若： 2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 则： 证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有 由于 ，上式可写成 或者 (7) 卷积定理 两个时间函数 f1(t)、f2(t) 卷积的拉普拉斯变换等于这两个时间函数的拉普拉斯变换。 2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 式中： 称为函数 f1(t)与f2(t) 的卷积 而 2.2.5 拉普拉斯反变换 (1) 拉普拉斯反变换的定义 将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式： 2.2 拉普拉斯变换 拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法。 简写为： 如果把 f(t) 的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即 2.2.5 拉普拉斯反变换 假若F1(s)、F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么 当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将 F(s) 分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换 f(t) 函数。 (2) 部分分式展开法 在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式： 2.2.5 拉普拉斯反变换 式中A(s)和B(s)是s的多项式， B(s)的阶次较A(s)阶次要高。 对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母 B(s) 应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s) 的拉氏反变换函数。 将分母 B(s) 进行因子分解，写成： 2.2.5 拉普拉斯反变换 式中，p1，p2，…，pn称为B(s)的根，或F(s)的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。 当 A(s) 的阶次高于 B(s) 时，则应首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一个s的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子s多项式的阶次就化为低于分母s多项式阶次了。 (1) 分母B(s)无重根 此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即 式中，ak(k=1,2,…,n)是常数，系数 ak 称为极点 s= -pk 处的留数。 2.2.5 拉普拉斯反变换 ak 的值可以用在等式两边乘以 (s+pk)，并把 s= -pk代入的方法求出。即 2.2.5 拉普拉斯反变换 在所有展开项中，除去含有 ak 的项外，其余项都消失了，因此留数 ak 可由下式得到 因为 f(t) 时间的实函数，如 p1 和 p2 是共轭复数时，则留数 ?1 和 ?2 也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数?1(或?2)，而另一个复留数 ?2(或 ?1)，自然也知道了。 2.2.5 拉普拉斯反变换 例题1 求F(s)的拉氏反变换，已知 解 由留数的计算公式，得 2.2.5 拉普拉斯反变换 因此 查拉氏变换表，得 2.2.5 拉普拉斯反变换 解： 分母多项式可以因子分解为 进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式 2.2.5 拉普拉斯反变换 例题2 求L-1[F(s)]，已知 2.2.5 拉普拉斯反变换 由留数的计算公式，得 由于?2与?1共轭，故 所以 2.2.5 拉普拉斯反变换 2.2.5 拉普拉斯反变换 查拉氏变换表，得 (2) 分母B(s)有重根 若有三重根，并为p1，则F(s)的一般表达式为 式中系数?2, ?3, …, ?n仍按照上述无重根的方法(留数计算公式)，而重根的系数?11, ?12, ?13可按以下方法求得。 2.2.5 拉普拉斯反变换 2.2.5 拉普拉斯反变换 依此类推，当 p1 为 k 重根时，其系数为： 例题3 已知F(s)，求L-1[F(s)]。 解 p1= -1，p1有三重根。 2.2.5 拉普拉斯反变换 由上述公式 2.2.5 拉普拉斯反变换 查拉氏变换表，有 2.2.5 拉普拉斯反变换 因此，得： 利用拉氏变换解微分方程的步骤： (1) 对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为 s 变量的代数方程。 (2) 对以 s 为变换的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。对这个变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间 t 为参变量）微分方程的解。 采用拉氏反变换的方法，