定积分的近似计算的.doc
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数学实验报告
实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日
实验名称 定积分的近似计算 问题背景描述：
利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．
实验目的：
本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。
实验原理与数学模型：
1．? 矩形法
根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即
在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．
针对不同的取法，计算结果会有不同。
（1） 左点法：对等分区间
，
在区间上取左端点，即取。
（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。
（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。
2．? 梯形法
等分区间
，
相应函数值为 （）．
曲线上相应的点为 （）
将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为
，．
于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，
，
即 ，
称此式为梯形公式。?
3．? 抛物线法
将积分区间作等分，分点依次为
，，
对应函数值为
（），
曲线上相应点为
（）．
现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线
来近似代替，然后求函数从到的定积分：
由于，代入上式整理后得
同样也有
……
将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：
，
即
这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．? 实验所用软件及版本：
Matlab 7.0 主要内容（要点）：
1．? 分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．
2．? 试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）
3．? 学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环。 实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
1：
梯形法
format long
n=120;a=1;b=2;
syms x fx
fx=1/x;
i=1:n;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %所有左点的数组
xi=a+i*(b-a)/n; %所有右点的数组
fxj=subs(fx,x,xj); %所有左点值
fxi=subs(fx,x,xi); %所有右点值
f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n; %梯形面积
inum=sum(f) %加和梯形面积求解
integrate=int(fx,1,2);
integrate=double(integrate)
fprintf(The relative error between inum and real-value is about:%g/n/n,...
abs((inum-integrate)/integrate))
【调试结果】
inum =
0.69315152080005
integrate =
0.69314718055995
The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006/n/n
抛物线法：
%抛物线法
format long
n=120;a=1;b=2;
inum=0;
syms x fx
fx=1/x;
for i=1:n
xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点
xi=a+i*(b-a)/n; %右点
xk=(xi+xj)/2; %中点
fxj=subs(fx,x,xj);
fxi=subs(fx,x,xi);
fxk=subs(fx,x,xk);
inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);
end
inum
integrate=int(fx,1,2);
integrate=double(integrate);
fprintf
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