《高等数学》电子课件（自编教材）第七章 第1节 向量极其线性运算.ppt

* (3)、向量运算的坐标表达式 * * 解 设 为直线上的点， * 由题意知： * 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 3、向量的模与方向余弦的坐标表示式 * 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式 * 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 * 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 * 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 * 解 * * 解 * 对角线的长为 * 空间直角坐标系 空间两点间距离公式 （注意它与平面直角坐标系的区别） （轴、面、卦限） 四、小结 * 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 （注意与标量的区别） （平行四边形法则） （注意数乘后的方向） 四、小结 * 向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. 向量的模与方向余弦的坐标表示式. 四、小结 （注意分向量与向量的坐标的区别） * 练习与思考题 1、已知平行四边形ABCD的对角线 试用 表示平行四边形四边上对应的向量. 解答： * 2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ 解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ; * * 3、一向量与 轴组成的角 是它们的两倍,确定这向量的方向。 解：先求方向余弦，再求方向角。 又 又 或 或 * * 4、 求解以向量为未知元的线性方程组 解: ① ② 2×① －3×② , 得 代入②得 * 四、小结 * 1、空间点的直角坐标 * 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 几个基本概念 * Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ * * 2、空间两点间的距离 * (2)、空间两点间的距离 * 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 * 解 原结论成立. * 解 设P点坐标为 所求点为 * 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量. | | 向量的模： 向量的大小. 单位向量： 1、向量的概念 或 或 或 * 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. * [1] 加法： 平行四边形法则 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 三角形法则 2、向量的加减法 * 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法 * 3、向量与数的乘法 * 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 * 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. * 例1 化简 解 * 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. * 1、向量在轴上的投影与投影定理 * * 证 于是 * 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. * 空间一点在轴上的投影 * 空间一向量在轴上的投影 * 关于向量的投影定理（1） 证 * 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； * 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） * 2、向量的坐标表达式 * * 即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角 度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向. 设、为空间两点 在直角及直角中，使用勾股定理知 例1 求证以、、 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 例2 设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点 的坐标. 因为在轴上， 以为起点，为终点的有向线段. 设是一个数，向量与的乘积规定为 与同向， 与反向， 例1 在轴上取定一点 作为坐标原点．设,是轴上坐标依次为, 的两个点，是与轴同方向的单位向量，证明. 向量与向量的夹角 过点作轴的垂直平面，交点即为点在轴上的投影. 已知向量的起点和终点在轴上的投影分别为那 么轴上的有向线段的值，称为向量在轴上的投影. 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： 向量在轴上的投影记为 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和. 例3 设和为两已知点，而在直线上的点分有向线段为两部分、，使它们的值的比等于某数，即，求分点的坐标