函数的一致连续性.doc
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哈尔滨师范大学
学 年 论 文
题 目 关于函数一致连续的探究
学 生 万鑫
指导教师 曾伟梁 副教授
年 级 2008级
专 业 信息与计算科学
系 别 信息系
学 院 数学学院
哈尔滨师范大学
2011年 6 月
哈 尔 滨 师 范 大 学
学士学位论文开题报告
论文题目 关于函数一致连续的探究
学生姓名 万鑫
指导教师 曾伟梁 副教授
年 级 2008级
专 业 信息与计算科学
2012年 03月
课题来源:
自选题目
课题研究的目的和意义:
(自此往后填写10行字。读毕须删除此段斜体字!不可保留于稿内。)
国内外同类课题研究现状及发展趋势:
(自此往后填写10行字。读毕须删除此段斜体字!不可保留于稿内。)
关于一致连续函数的判据
万鑫
摘 要:连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题,现实问题。我们经常观察的自然现象,如生物的连续生长,反映的是事物连续不断的变化的过程,如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义,从而对函数的一致连续性进行探讨。
关键词:一致连续 非一致连续 判别依据 比较判别法 比值判别法。
一 函数一致连续的概念
定义1:设函数在上有定义,若函数在点上存在极限,且极限是,
即,则称函数在点上连续,也称是函数的连续点.
用“”语言叙述:函数在上连续,,:,时,有
定义2: 设函数在区间(开区间,闭区间,半开区间及无穷区间)上有定义,若,,,时,有
可以看出,函数c在上一直连续是指:不管,在中的位置如何,只要他们的距离小于,可使,其中,都可变,依赖于而与,无关。
定义3: 设函数在区间上有定义,若, , , 时有,则称函数在上非一致连续。
对于函数在区间上非一致连续,也就是说存在某个正数,不论任何的正数,在区间内至少存在两点与,虽然,但。
评注1:一直连续的实在,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差(就绝对值来说)可以任意小。
用定义证明函数在I上一致连续,通常的方法是设法证明函数在I上满足lipschitz条件,,,I,其中L为某一常值函数,此条件必成立。特别的若函数在I上是有界函数,则函数在I上lipschitz条件成立。
二 函数一致性连续的判断依据
(一)一致连续函数的运算性质
性质1 设函数与在区间上一致连续,则在区间上也一致连续(为任意常数)。
性质2 设函数与在区间上一致连续且有界,则在区间上一致连续且有界。
性质3 设函数在区间(有限或无限)上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则在区间上也一致连续。
性质4 设函数在区间上一致连续,在区间上一致连续,且
,则复合函数在区间上一致连续。
性质5 设函数与在有限区间I上一致连续,则在有限区间I上也一致连续。
必需指出,对于一致连续函数的反函数的一致连续性未必成立。例如函数在上一致连续,而它的反函数在上非一致连续。但可以证明在有限区间上此结论为真。
例1 若函数是有限区间上的一直连续函数,在上非一致连续,问:在区间上一致连续性?
解:假设在区间上一致连续,又是有限上的一直连续函数,由性质1可得在的一致连续,这与条件矛盾!所以在区间上非一致连续,同理在区间上非一致连续,所以在区间上非一致连续性.
(二)一致连续的判断依据
命题1 若函数在区间上满足lipschitz条件,即,有,其中为常数,则函数在区间上一致连续。
证明:因为函数在区间I上满足lipschitz条件,即,有,于是,,由于,有,取,且与无关,从而, ,:,有,故函数在区间上一致连续。
命题2(康托定理)若函数在区间上连续,则函数在区间上也一致连续.
证明(反证法) 假设函数在区间非一致连续,取,,则在区间内存在两点,,有,但.根据魏斯特拉斯定理知,在有界数列中存在一个收敛的子列 ,其中,又由于即,因为,并且对一切都成立。另外函数在点连续,根据函数极限与数列极限的关系,有,于是,.所以函数在区间上连续,则函数在区间上也一致连续.
评注:命题2对开区间不成立。例如函数在在区间上的每一个点都连续,但并非一致连续,事实上,对于任意小的,令,,则,则,这时可以任意小,而可以任意大。函数在也有类似的情况,以上两类讨论的都是无界函数,而在内的没一点都连续,且显然在这个区间内有界,然而它也没有一直连续性在这个区间内,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数与存在,使得1,-1
命题3 若函数在区
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