一道曲线积分题目的六种解法.pdf

第 30卷第 3期 大 学 数 学 Vo1．30，№ ．3 2014年 6月 COLLEGE MATHEMATICS Jun．2014 一 道 曲线积分题 目的六种解法 段耀勇 (中国人民武装警察部队学院基础部，河北 廊坊 065000) [摘 要]给出了一道 曲线积分题 目的六种解法，这有利于提高学生对综合运用数学知识的能力，同时也 可以启发学生思维和开阔他们的思路． [关键词]曲线积分；弧长；对称性；参数方程 [中图分类号]0172．2 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2014)03—0095—03 问题计算—jcz。ds，其中C为圆周z。+。+2一o，x+y-kz一0引． 解法1视z为参数解方程组I{zZx++十yVvZ++十zz。：Ua，，。’得参数方程c和c。： -- 』f x--z—j2a，2-3x2 f —， ： — ， J一--—x-F~2／az--3xz， l一-—x+J2a2-里3x~，【一--—x--~2／a2-翌3x2． 其中由△≥0得 ，一 n≤ z≤ a，故 2j。s一2jz。再 一 z z —／—18x2如 c令 一 cos = 一 詈a。．o『(1+c。s2)一号艘3． 这是最容易想到的一种将空19曲线化为参数方程的方法 ，但无论是求参数方程 ，还是后面曲线积分 的计算都很繁琐． 解法2利用圆的参数方程，由I{X十v十U得抖)．，z z 、(．‘)+、(号+j，) = (隽)，则c的参数方程为 2 z 一 os a 一 一 cosO+ asin ， (o≤ ≤ 2，r)， 一一 a cosO一一 _a==sin0 一 一 -== [收稿 日期]2013—03～14 96 大 学 数 学 第3O卷 所 以 J— 卿s。 号 对平面解析几何知识掌握较好的同学来说 ，这是把空间曲线化为参数方程的一般技巧，后继 的曲线 积分计算也相对简单。 解法3 圆周 C消去 ，得 X2+y2+ = ．利用解析几何 的旋转公式消掉交叉项 ．令 f ： XCOSa— ysina， IY：Xcosa+Ysina， 代入 十 + 一等，令XY的系数为