一道压轴填空题的六种解法.pdf

高中戡学教与学 2014聋 一 道压轴填空题的六种解法 翟爱国 (江苏省兴化市戴南高级中学，225721) 题 目 已知函数-厂()：3x+。与函数 (填空题 14)．本校500多名高三学生，解答正 g(x)=3x+2a在区间(b，c)上都有零点，则 确的人数不足 10人，这道压轴题的正确率儿 等I2^I三．2 H的最小值为／0一一—一——_． 乎为0．笔者参与了网上阅卷工作，阅卷过程 中不少老师谈 了对该题的看法，普遍认为是 这是江苏省泰州市2013～2014学年度第 一 道好题 ，而并非难题．本文给出6种解法与 一 学期期末高三数学联考试卷中的一道试题 ”●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… -●… ·●… ‘●… ·●… ·●… ·●… -●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●… ·●” (9一b)。≤2(33一b)，解得 1≤b≤5． 将 + =1一z代入 ，可知xyz=一z一(1 评注 此处，若不用柯西不等式处理 ，则 一 z)z = 一 一 =，()． 可借用几何背景来求解：将方程组(1)分别看 又{： ．利用不等 成直线和圆的位置关系问题，则点(。，c)既在 直线 上 也 在 圆上，那 么 有 ≤ ≤2(x十Y)，碍到一1≤z≤÷，以下求函数 3一 ，同样解得 1≤6≤5． f(z)在[一1，÷】上的最大值即可． 解法2 由题意，得 f (。)：3z一2z一1：(3z+1)(z一1)， r6：9一(口+c)， 当f(z)0时，。1或z一÷；当，(z) 1b：丝二 ． n + C 0，一 ÷ ： 1． 于 是 () = 故 9一(。+。)： ， 化简得 m ax f，I一÷)√I))=5． n +c +口c一9口一9c+24=0． ⑦ 本文中列举的两类 问题，在第一个类型 要求b的范围，即可转化为求 。+C的范 中，都可通过分解因式进行转化，从而直接利 围，令t：a+c，将c=￡一8代入② 式得 用基本不等式求解；而第二类问题则稍显复 口一at+(t一9t+24)=0． 杂，思维分析 的主要障碍在于如何减元或消 由口∈R，可知△=t一4(f一9t+24)≥ 元，方可转化为方程问题或者函数问题．在解 0，解得4≤ ≤8，即1≤b≤5． 题过程中要特别注意发掘题中的隐含条件， 例6 已知 ，y，∈R，且 +Y+。=1， 因此，在处理这类三元最值问题时，事先需要 。+ +z2=3，则xyz的最大值为 — — 一 尝试后方可发现问题属性 ，从而能探究到问 解 由题意，得 y+ +XZ=一1，即 题的奥妙所在． = 一 1一(+y)z，且 xyz=一z一(+y)z． · 46 · 第6朔