全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法.docx

第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 4 页 全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法 △ABC中,AD是BC边中线 方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长 （图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE （图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD 【经典例题】 例1已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3， 则中线AD的取值范围是_________. （提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边） 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF 方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H，证明ΔBDG≌ΔECH） 例3、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 变式：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证： （提示：方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG， 证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边 _ _ D _ F _ C _ B _ E _ A 方法2： 倍长ED至H，连结CH、FH，证明FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边） _ _ D _ F _ C _ B _ E _ A 例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF （提示：方法1：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。 方法2：倍长ED.试一试，怎么证明？） 例5、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点， 求证：AD平分∠BAE. （提示：倍长AE至M,连接DM） 变式一：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE至F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS） 变式二：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：2AE＝AC。 （提示：借鉴变式一的方法） _A_B_D_E _ A _ B _ D _ E _ C _ F 求证：AE平分 提示： 方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH _ _ A _ B _ D _ E _ C _ F 【练习】 1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC 2、已知：如图，?ABC中，?C=90?，CM?AB于M，AT平分?BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE. 提示：过T作TN⊥AB于N， 证明ΔBTN≌ΔECD 在△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD于M，若AB＝AD，求证：2AM＝AC＋AB。 4、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°， 求证：AB=2BC. 5、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM