第3章-随机过程.ppt

王 玉 青Email：wangyq123@163.com 【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 样本函数?i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 随机过程：? (t) ={?1 (t), ?2 (t), …, ?n (t)} 是全部样本函数的集合。 ?1.输出过程?o(t)的均值 ： 对式 两边取统计平均，得到 设输入过程是平稳的 ，则有 式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。 ?2.输出过程? o(t)的自相关函数： 自相关函数的定义： 根据输入过程的平稳性，有 于是 若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。 ?3.输出过程?o(t)的功率谱密度： 对下式进行傅里叶变换： 得 令 ?? = ? + ? - ?，代入上式，得到 即 结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。 应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro(?) 。 ?4.输出过程?o(t)的概率分布： 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 因为从积分原理看， 可以表示为： 由于已假设?i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和” 也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。 注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。 ? 随机信号通过非线性系统： 随机信号通过非线性系统的分析比较复杂，这里我们只介绍一种在信号调制和解调中常用的乘法器。乘法器是线性调制和相干解调的器件，所以乘法器是通信系统中的一个重要部件。 乘法器是一种非线性系统，可以等效为一个三端口网络，如图(a)所示，其数学模型如图(b)所示。其特点是具有两个输入激励。一般一个是信息信号，另一个是载体信号（称为载波）。 × h(t) ?o(t) ?i(t) ?o(t) ?i(t) cos?ct (a)三端口网络 sin?ct (b)数学模型 现假设ξi(t)是一个平稳随机过程，则输出为 求系统输出随机过程ξo(t)的统计特性。 ξo(t)的数学期望： 显然它是t的函数。也就是说ξo(t)不是平稳随机过程。 ξo(t)的自相关函数： 显然它也是时间t的函数。这样从ξo(t)的数学期望和自相关函数的结果说明：虽然输入是平稳的随机过程，但非线性系统的输出一般不是平稳的随机过程。 ξo(t)的功率谱密度Pξo(ω)： 因为ξo(t)不是平稳随机过程，Ro(t,t+τ)是t的函数，故ξo(t)的功率谱密度函数应是 的付氏变换，即 可见，输出随机过程的功率谱是输入平稳随机过程功率谱密度的频谱搬移。 ξo(t)的分布比较复杂，这里不作详细讨论。 3.5 窄带随机过程 若随机过程?(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围?f 内，即满足?f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该?(t)为窄带随机过程。 ? 典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 ?1.什么是窄带随机过程？ ?2.窄带随机过程的表示式 a? (t) － 随机包络， ?? (t) － 随机相位，?c － 中心角频率。 a?(t)和??(t)的变化相对于载波cos?ct的变化要缓慢得多。 ?3.窄带随机过程表示式展开 － ?(t)的同相分量 － ?(t)的正交分量 (1)?(t)的统计特性由a?(t)和??(t)或?c(t)和?s(t)的统计特性确定 (2)若?(t)的统计特性已知，则a?(t)和??(t)或?c(t)和?s(t)的统计特性也随之确定。 3.5.1 ?c(t)和?s(t)的统计特性 ? 数学期望： 因为?(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E[?(t)] = 0 ，所以 ? ?(t)的自相关函数 ? 因?(t)是平稳的， 故 这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与?有关。 因与时间t无关，以下二式自然成立: 所以，上式变为 ? 再令 t = π/2?c，同理可以求得 若窄带过程?(t)是平稳的，则?c(t)和?s(t)也必然是平稳的。 ? 两式应同时成立，故有 同相分量?c(t) 和正交分量?s(t)具有相同的自相关函数。 ? 若令 t = 0，上式仍应成立，它变为 ? 根据互相关函数的性质，应有 代入上式，得到 上式表明Rsc(?)是? 的奇函数，所以 同理可证 代入两式 得到 即 ?(t) 、?c(t)和?s(t)具有相同的平均功率或方差。 ? 根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到 因为?(t)是高斯过程，所以?c(t1)，?s(t2)一定是高斯随机变量，从而