工程力学（静力学与材料力学）教学课件作者顾晓勤第11章压杆稳定第3节欧拉公式及经验公式课件.ppt

第 3 节 欧拉公式及经验公式 第十一章 压杆稳定 一、临界应力与压杆柔度 压杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界应力，用 表示。由公式知： 令 令 临界应力形式的欧拉公式 式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆的长度 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳定计算中的一个重要综合参数。 临界应力形式的欧拉公式 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值，由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。 欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹性范围内，推导出来的。因此只有当?p ? ?cr 时欧拉公式才适用，即 大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 、 ，则由上式可算得欧拉公式的适用范围为 ；同理对于铸铁，欧拉公式的适用范围为 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。 二、欧拉公式的适用范围 或 式中 为具体压杆的柔度， ﹑ 为与材料的力学性能有关的常数，单位为 MPa。表 11-2 中列出了几种常用材料的 、 值。 若压杆的柔度 ，则这种压杆的临界力不能再按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。 三、经验公式 1、直线型经验公式 材料 （强度极限? b/ MPa ） （屈服点? S /MPa ） a （MPa） b （MPa） ? P ? S Q235 钢( ) 304 1.12 100 62 优质碳钢( ) 461 2.568 100 60 硅钢 ( ) 578 3.744 100 60 铬钼钢 981 5.296 55 — 铸铁 332 1.454 80 — 硬铝 373 2.15 50 — 松木 28.7 0.19 59 — 表11-2 几种常用材料的 a、b 的值 注意：仅当压杆的柔度 时，才能用上式求解！ 此经验公式的适用范围：对于塑性材料的压杆，要求临界应力不超过压杆材料的屈服极限应力，以保证压杆不会因强度不够而发生破坏。对塑性材料： 例：对于 Q235 钢： ， ， 综 述 对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的压杆，根据其柔度可将压杆分为三类： （1） 的压杆，称为大柔度杆或细长杆 由欧拉公式 计算其临界应力 （2） 的压杆，称为中柔度杆或中长杆 由直线型经验公式计算临界应力 中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳现象。 根据欧拉公式与抛物线经验公式，得低合金结构钢等压杆的 总图。 （3） 的压杆，称为小柔度杆或短粗杆 应按强度问题处理 对绝大多数碳素结构钢和优质碳素结构钢来说，小柔度杆的 在 0 ~ 60 之间。 根据欧拉公式与抛物线经验公式，得低合金结构钢等压杆的 总图。 2、抛物线型经验公式 在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为 式中 、 与是与材料有关的常数，其单位是MPa。与前式中的 、 值是不同。 例11-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固定、一端自由，如图所示，直径均为 100mm，皆由 Q235 钢制成，材料的 206 GPa， 200 MPa， 235 MPa， 304 MPa， 1.12 MPa。试求各杆的临界载荷。 1m 2m (a) (b) (c) 0.5m 解：3 根杆相同的参数 （a）第一根压杆的临界载荷 （b）第二根压杆的临界载荷 （c）第三根压杆的临界载荷 该杆为小柔度压杆，临界应力应选