线性代数A卷答案及评分标准(份).doc

2013—2014学年第二学期 《线性代数》期末试卷 答案及评分标准 专业班级 _____________________ 姓 名 _____________________ 学 号 _____________________ 开课系室 应用数学系 考试日期 2014 年6月8日 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 本题 满分 15 15 16 14 16 12 12 本题 得分 阅卷人 注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共七道大题，满分100分； 4．试卷本请勿撕开，否则作废； 5．本试卷正文共7页。 本题满分15分 本题得分 一．填空题（3分5=15分） 1． =【】. 2. 设,设，则【 】. 3. 设是矩阵，且，，则=【 】. 4. 实数域上的元非齐次线性方程组的所有向量，对于通常的向量加法和数量乘法，【构成】（构成、不构成）上的一个线性空间. 5．若为正定二次型，则的取值范围是 【 】. 本题满分15分 本题得分 二. 选择题（3分5=15分） 1. 已知4阶矩阵的第三列的元素依次为，它们的余子式的值分别为，则【 A 】. (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2. 若向量组线性无关，线性相关，则【 C 】. (A) 必可由线性表示； (B) 必不可由线性表示； (C) 必可由线性表示； (D) 必不可由线性表示. 3. 设是非齐次线性方程组的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是【 B 】. (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4. 设为任意阶方阵，是其伴随矩阵，为常数（），则必有【 B 】. (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 5. 设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为【 B 】. (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 本题满分16分 本题得分 三. 解下列各题（8分2=16分） 1. 计算行列式. 解: = ……………（2分） = =………………………… …（5分） ==………………………............………………（8分） 2. 设和都是3阶方阵，若，求. 解: 由得 ………………………………（4分） 可逆. ……………………………（6分） …………………………………….……（8分） 本题满分14分 本题得分 四. （7分2=14分） 1. 蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.设三种食物（脱脂牛奶、大豆粉、乳清）每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如表1所示. 表1 三种食物的营养成分含量表 营养 每100克食物所含营养(克) 每日需要的营养量(克) 脱脂牛奶 大豆粉 乳清 蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 34 74 45 脂肪 0 7 1.1 3 请写出三种食品的组合所满足的线性方程组，使得混合食物恰好能够提供每日所需的营养. 解：设这三种食物的量为，（单位：100g）………………（1分） ………………………….…………………（3分） ………………………….……………………………（5分） …..………………………….…………………………（7分） 2. 设方阵满足方程，证明可逆，并求. 证：由得 即 …………………（4分） 故可逆 并且 …………………（7分） 本题满分16分 本题得分 五. （8分2=16分） 1. 设有向量组 (1) 求此向量组的秩，并求一个最大无关组；(2) 将其余向量用这个最大无关组线性表示. 解： ， …...................………………（4分） 故知 （1）向量组的秩为2， …………………………（5分） 是一个最大无关组； ………………………...…（6分） （2）, ………………...…………（8分）. 2．证明：两两正交的非零向量构成的向量组是线性无关的向量组. 证： 设有，使 .……………………………（3分） 不妨设向量为列向量，则以