《三 排序不等式》同步练习2.doc

《排序不等式》同步练习 1．已知a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是(　　) A．a3＋b3＋c3a2b＋b2c＋c2a B．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a C．a3＋b3＋c3a2b＋b2c＋c2a D．a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2a 答案：B 2．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5元，经合理安排损失最少为(　　) A．420元 B．400元 C．450元 D．570元 答案：A 3．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则最少和最多花的钱数为(　　) A．19元，24元 B．20元，19元 C．19元， 25元 D．25元，27元 答案：C 4．已知a，b，c为正数，求证：eq \f(b2c2＋a2c2＋a2b2,a＋b＋c)≥abc. 分析：所要证的不等式中a，b，c的“地位”是对称的，因此可以先设出a，b，c的大小． 证明：设a≥b≥c，则eq \f(1,a)≤eq \f(1,b)≤eq \f(1,c)，bc≤ca≤ab， 由排序原理得eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥eq \f(bc,c)＋eq \f(ca,a)＋eq \f(ab,b)， 即eq \f(b2c2＋c2a2＋a2b2,abc)≥a＋b＋c. 因为a，b，c为正数， 所以abc＞0，a＋b＋c＞0. 于是eq \f(b2c2＋c2a2＋a2b2,a＋b＋c)≥abc. 5．已知a，b，c≥0，且a2＋b2＋c2＝3，则aeq \r(b)＋beq \r(c)＋ceq \r(a)的最大值是______． 答案：3 6．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 证明：不妨设a≥b≥c0，则a4≥b4≥c4， 运用排序不等式有： a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4， 又a3≥b3≥c30， 且ab≥ac≥bc0， 所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab， 即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 7．已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证： (1)eq \f(1,bc)≥eq \f(1,ac)≥eq \f(1,ab)； (2)eq \f(a5,b3c3)＋eq \f(b5,a3c3)＋eq \f(c5,a3b3)≥eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c). 证明：(1)∵a≥b＞0，∴eq \f(1,a)≤eq \f(1,b)， 又∵c＞0，∴eq \f(1,c)＞0，∴eq \f(1,bc)≥eq \f(1,ca)， 同理∵b≥c＞0，∴eq \f(1,b)≤eq \f(1,c)， ∵a＞0，∴eq \f(1,a)＞0，∴eq \f(1,ca)≥eq \f(1,ab)， ∴eq \f(1,bc)≥eq \f(1,ac)≥eq \f(1,ab)； (2)由(1)eq \f(1,bc)≥eq \f(1,ac)≥eq \f(1,ab)，于是由排序原理得 eq \f(a5,b3c3)＋eq \f(b5,c3a3)＋eq \f(c5,a3b3)≥eq \f(b5,b3c3)＋eq \f(c5,c3a3)＋eq \f(a5,a3b3)＝eq \f(b2,c3)＋eq \f(c2,a3)＋eq \f(a2,b3)≥eq \f(b2,b3)＋eq \f(a2,a3)＋eq \f(c2,c3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(因为a2≥b2≥c2，\f(1,c3)≥\f(1,b3)≥\f(1,a3)))＝ eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c). 8．已知a，b，c为正数，且两两不相等，求证：2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)． 证明：不妨设a＞b＞c，于是a2＞b2＞c2， 且b＋c＜a＋c＜a＋b， ∴eq \f(a2?b＋c?＋b2?a＋c?＋c2?a＋b?,3)＜ eq \f(a2＋b2＋c2,3)·eq \f(b＋c＋a＋c＋a＋b,3)， ∴a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)＜ eq \f(2?a2＋b2＋c2??a＋b＋c?,3)，① 又∵a＞b＞c，a2＞b2＞c2， ∴eq \f(a3＋b3＋c3,3)＞eq \f(a＋b＋c,3)·eq \f(a2＋b2＋c2,3)， ∴2(a3＋b3＋c3)＞eq \f(2?a2＋b2＋c2??a＋