《三 排序不等式》导学案3.doc

PAGE 《排序不等式》导学案 学习目标： 1.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题； 2.体会运用经典不等式的一般思想方法 知识情景： 1.一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，(1，2，…，)， 则：____________________________________.当且仅当______________时， 等号成立. (若时，约定，1，2，…，). 变式1. 设 则：.当且仅当______________________时，等号成立. 变式2.设则：. 当且仅当时，等号成立. 变式3.(积分形式)设与都在可积， 则，当且仅当时，等号成立. 2.探究 如图， 设，自点沿边依次取个点， 边依次取取个点，在边取某个点与边某个点连接，得到，这样一一搭配，一共可得到个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的不同，问：边上的点与边上的点如何搭配，才能使个三角形的面积和最大(或最小)？？？ 设，由已知条件，得 因为的面积是__________，而________是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题： 则何时取最大(或最小)值？ 我们把叫做数组与的乱序和.其中， 称为_____序和.称为_____序和.这样的三个和大小关系如何？ 新知建构： 1.检验操作: 填表: 2.一般性证明: 任意一个排列(有______个不同的排列).所以， 的不同值也只有有限个(个).其中必有最大值和最小值. 考察， 1.若，则应有某，且，对换得 . . 说明将中第一项换为后， 和式变 . 2.若，则转而考察，并进行类似讨论.可证将式中第二项换为后，和式变. 如此继续下去， 经有限步调整， 可知一切和数中， 最大和数只能是_______.且不难知道， 最小和数只能是__________. 3.容易发现， 当或时， ； 如果不全相等， 也不全相等. 则和使，考察和数 ∵ ∴ . 定理(排序不等式， 又称排序原理):为两组数，任意一个排列， 则 . 当且仅当或时， 等号成立. 排序不等式的应用： 例1. 若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数， 求证:. 例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？