工程力学 教学课件 作者 顾晓勤第11章 变形体力学的几个问题 第4节 复杂应力状态.ppt

* 第十一章 变形体力学几个问题 * 第四节 复杂应力状态 一、应力状态的概念 直杆轴向拉伸时：在杆件的同一截面上各点处的应力是相同的，但是应力随所取截面与轴心线夹角的不同而改变； 圆截面杆扭转或梁的弯曲时：在杆件的同一截面上，不同位置的点具有不同的应力。 1、一点处的应力状态 本节讨论要点：例如工字钢截面梁在横力弯曲时，其截面上翼缘与腹板交界的各点处，同时有较大的正应力和切应力。为此，要研究一点处所有截面上在该点处的应力情况。 如图所示，设拉杆的任一斜截面m-m与其横截面相交成 ? 角。采用截面法研究此斜截面上的应力，取左边部分研究，由平衡方程可得到斜截面上的内力为 设杆由许多纵向纤维组成，杆拉伸时伸长变形是均匀的，因此斜截面上的分布内力必然是均匀分布的，即各点处的应力相等，于是 式中：p?—斜截面上任一点处的总应力，其方向沿x 轴正向； 根据斜截面面积A?与横截面面积A的几何关系得到： 为研究方便，将分解为沿斜截面m-m的法线分量和切线分量，如图c所示。分解得： 一点处的应力状态：当? 变化时，对应的各个截面的应力也随之变化。我们将构件受力后，通过其内任意一点的各个截面上在该点处的应力情况，称为该点处的应力状态。 杆横截面上的正应力 为了研究受力构件内 A 点处的应力状态，可以围绕 A 点截取一个单元体来代表该点。单元体的边长为无穷小量，故单元体各个表面上的应力分布可以看成是均匀的，单元体任一对平行平面上的应力可视为相等的。 2、一点处的应力状态的表示方法——应力单元体 单元体的左、右表面上的正应力为： 单元体的上、下侧面和前、后侧面均无应力。 轴 向 拉 伸 如图所示，对于其表面上的 B 点，可以围绕该点以杆的横截面和径向、周向纵截面截取代表它的单元体进行研究。横截面上在 B 点处的切应力： 圆杆在扭转时 式中： MT — 横截面上的扭矩； WP — 抗扭截面系数， T — 扭矩。 杆在周向截面上没有应力。又由切应力互等定理可知，杆在径向截面上 B 点处应该有与相等的切应力。于是此单元体各侧面上的应力如图 3、主平面、主应力、应力状态的分类 主单元体：在一般情况下，表示一点处应力状态的应力单元体在其各个表面上同时存在有正应力和切应力。但是可以证明：在该点处以不同方式截取的各个单元体中，必有一个特殊的单元体，在这个单元体的侧面上只有正应力而没有切应力。这样的单元体称为该点处的主应力单元体或主单元体。 主平面：单元体的侧面称为主平面。 主应力：主平面上的正应力称为该点处的主应力。 一般情况下，过一点处所取的主单元体的六个侧面上有三对主应力，我们用?1、?2、?3 表示，这三者的顺序按代数值大小排列，即?1??2??3。 应力状态的分类 1）单向应力状态：只有一个主应力不等于零； 2）二向应力状态：有两个主应力不等于零； 3）三向应力状态：三个主应力都不等于零。 二、平面应力状态下单元体截面上的应力 正应力?：仍以拉压力为正，压应力为负； 切应力?：当表示切应力的矢有绕单元体内任一点作顺时针转动趋势时为正，反之为负； 斜截面外法线与x轴所成角度?：从 x 轴按逆时针转向转到外法线n时为正，反之为负。 规 定 设de斜截面面积为dA，则ae面的面积为dA?sin? 面的面积为dA?cos? 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱柱体ade的受力平衡方程如下： 由切应力互等定理有?x=?y，并利用三角关系： 、 及 对以上二式进行整理得到： 利用上述两式可以求得de斜截面上的正应力和切应力。且斜截面上的应力是角度? 的函数，正应力??和切应力?? 随截面的方位改变而变化。 若已知单元体上互相垂直面上的应力?x、?x 、?y、?y，则该点处的应力状态可由上述两式完全确定。 例11-5 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，试求斜截面上的正应力?? 和切应力?? 。 解：按正负号规定则有： 代入公式得： 将公式?? 对? 求一阶导数、并令其为0： 则有： 三、平面应力状态下的主应力和极限切应力 1、平面应力状态下的主应力和主平面 则 三个主平面互相垂直。 上式解得的斜截面角有?0 和90o+?0 两个，其中一个是?max所在的平面，另一个是?min所在的平面，且两个主平面相互垂直的。再考虑到各应力均为零的平面也是主平面，故平面应力状态下的 极值正应力所在的平面恰