第一章矩阵第7节.ppt

* 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 §1.7 矩阵的秩 一. 基本概念,1.矩阵的k阶子式：例：3阶子式 问:这样的3阶子式共 ?个. 3阶子式 m?n 3行 3列 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 例如: A = ?2 0 4 1 0 1 3 2 4 0 ?8 ?2 ?2, 0, 4, 1, 0, 1, 3, 2, 4, 0, ?8, ?2. 的1阶子式有3?4个: A的2阶子式有3?6个: 0 4 1 3 , 0 1 1 2 , 4 1 3 2 , ?2 0 0 1 , ?2 4 0 3 , ?2 1 0 2 , 0 4 0 ?8 , 0 1 0 ?2 , 4 1 ?8 ?2 , ?2 0 4 0 , ?2 4 4 ?8 , ?2 1 4 ?2 , 0 1 4 0 , 3 2 ?8 ?2 . 0 3 4 ?8 , 0 2 4 ?2 , 1 3 0 ?8 , 1 2 0 ?2 , 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 ?2 0 4 1 0 1 3 2 4 0 ?8 ?2 的3阶子式有1?4个: ?2 0 4 0 1 3 4 0 ?8 ?2 0 1 0 1 2 4 0 ?2 ?2 4 1 0 3 2 4 ?8 ?2 0 4 1 1 3 2 0 ?8 ?2 , , , 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 ② r(AT) = r(A). 2. 矩阵A的秩(rank) 记为r(A)或秩(A) r(A) = r A中至少有一个r阶子式D不为零 A的所有r +1阶子式都等于零(如果存在) 注: ① 零矩阵的秩规定为0. ?2 0 4 1 0 1 3 2 4 0 ?8 ?2 而3阶子式全为0, 因此它的秩为2. 例如 有一个2阶子式 ?2 0 0 1 ? 0, 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 例. 求 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 的秩 此 例说明 对于一个阶数较高且非零元比较 多的矩阵来说, 按照定义求它的秩计算量较大 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 4 0 ?8 ?2 9 0 3 0 1 2 0 0 0 4 7 0 0 0 0 0 例. 的秩为 . 3 注: 从上例看出行阶梯形矩阵的秩等于 它的非零行的数目. 性质:任何一个矩阵都可以经过有限次初等行 变换化为行阶梯形. 现在考察矩阵初等行变换是否改变矩阵的秩? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 二. 几个重要的结论 1. 初等行变换不改变矩阵的秩 即: 定理. 初等变换不改变矩阵的秩. 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 (1) ri ?rj不改变矩阵的秩 (2) ri?k 不改变矩阵的秩, k ≠ 0 (3) ri+krj不改变矩阵的秩 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 2. 初等列变换不改变矩阵的秩 矩阵的等价:矩阵A, B称为等价的, 如果A可经过初等变换化为B, 于是 (1) 等价的矩阵具有相同的秩. (2) 设B = PAQ, 其中P, Q为可逆矩阵, 则r(A) = r(B). 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 例.设A = 1 0 1 2 ?1 0 1 ?1 1 ?1 1 1 0 3 ?2 2 2 0 6 ?3 , 求A的秩, 并找出A的一个最高阶非零子式. 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 性质. 设A为s?m矩阵, B为s?n矩阵,