第一章(第六节)分块矩阵.ppt

一、分块矩阵的运算 例 设 计算 。 解 记 则 §1.6 分块矩阵 其中 由此得 定义 设A是m×n矩阵，在A的行之间加入s-1条横线， 在A的列之间加入t-1条竖线(0sm; 0tn)，则A被分成 s×t 个小矩阵，依次记为Aij（i=1,2,…,s; j=1,2,…,t）。此 时，A可写为 把A视为以Aij 为元素的形式上的s×t 矩阵，称之为分块 矩阵，也称为对A的分块，每个小矩阵Aij 称为A的子块。 定 义 (1)根据元素的排列特性； (2)按行（列）； (3)两个极端。 例 (1) (2) (3) (4) 常见的分块方法 问题：如何分块，使 （1）分块矩阵之间的形式运算有意义 （2）块之间的矩阵运算有意义 要求： 分块运算需如下进行 （1）加法：A+B （A与B分块方法相同） （2）数乘：kA （A的分法任意） （3）乘法：AB （A的列与B的行分法相同） （如何分？） （4）转置：AT （A的分法任意） 如何进行分块？ 例 设A是n 阶方阵。若存在n 阶非零方阵B，使AB =O。则A是降秩矩阵。 证明 由上例的结论知，B的每个列均是齐次线性方程组AX = 0的解。 因B≠O，故B至少会有一列的元素不全为零，该列即是上述齐次线性方程组的非零解。于是，由前面的定理可得，A不可逆。所以， 秩(A) n 举 例 由此解出 举 例 定义 对分块矩阵 的下述三种变换称为分块初等行（列）变换： （1）用可逆矩阵P左（右）乘A的某一行（列） 全部子块。 （2）A 的某一行（列）全部子块的左（右）侧 乘上矩阵P 加到另一行（列）上。 （3）互换A的两行（列）。 这里，矩阵P 应使矩阵运算可以进行 二、分块矩阵的初等变换 （一）分块矩阵的初等行变换 （二）分块矩阵的初等列变换 定义 称分块矩阵 定义 对分块单位矩阵做一次分块初等变换，所得分块矩阵称为分块初等矩阵。 性质 分块初等矩阵是满秩矩阵。 定理 对一个分块矩阵A做一次分块初等行（列）变换等同于在A的左（右）侧乘上一个对应的分块初等矩阵。 推论1 若分块矩阵A经过有限次分块初等变换化为分块矩阵B，则A相抵于B。 推论2 分块初等变换不改变矩阵的秩。 一些性质、定理 证明 举 例 由此得： 令 则PA=I，故A可逆，并且 定理 定理、推论 推论