平面图形的几何性质1.ppt

§1 静矩与形心 一、静矩： 任意平面图形如图所示，其面积为A，x轴和y轴为图形所在平面内的坐标轴。在坐标（x，y）处，取为面积dA，则遍历整个图形面积A的积分 材料力学 山东大学 工程力学系 附录 平面图形的几何性质 § 1 静矩与形心 § 2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 § 3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 § 4 转轴定理·主惯性轴* 平面图形的几何性质 dA x y y x 定义为该平面图形对x轴和y轴的静矩 也称为平面图形对x轴和y轴的一次矩 静矩的数值：可能为正，可能为负，也可能为负 静矩的量纲：[长度]3，单位：m3 二、形心坐标与静矩：(等厚均质板的质心与形心重合。) 累加式 dA x y y x 等厚均质 质 心 形心 若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩必然等于零 。反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心 例1 试确定下图的形心。 80 120 10 10 x y C2 C1 C1(0,0) C2(-35,60) 解 ： 1.组合截面法 图形分割及坐标如图(a) y y x x y x y x 2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 图(b) C1（0,60） C2（5,65） C2 负面积 C1 x y 80 120 10 10 §2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩： 惯性半径： 分别称为图形对 x和y 轴的惯性矩，也称为图形对 x和y 轴的二次矩。 dA x y y x r O 惯性矩和极惯性矩恒为正值 定义为图形对 x 轴的惯性半径 定义为图形对 y 轴的惯性半径 二、极惯性矩： 称为截面对极点O的极惯性矩 dA x y y x r O 惯性矩和极惯性矩恒为正值； 其量纲为长度的四次方 ，常用单位：m4 惯性矩和极惯性矩的关系 dA x y y x r 三、惯性积 如果若坐标轴 x 、y 轴 有一个是图形的对称轴,如 y 轴，则 称为图形对x 、y 轴的惯性积 y x o dA dA x x y y 讨论 惯性积可为正值 or 负值 or 零 例2 求矩形对其对称轴 x 、y的惯性矩 解：先求 取微面积 dA dy y y x o h b 同理 圆环截面 内径 d ，外径 D x y 组合图形的对某轴的惯性矩 §3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理： dA b a x y o yc y xc x xc yc C 取另外一对坐标轴: x 和 y，且 x // xc 相距 b , y // yc 相距 a 对x 和 y轴的惯性矩为: 对形心轴xc和yc的惯性矩和惯性积为: 注意: C点必须为形心 ? a 和 b 可正、可负、可为零 同理，可得： 例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解 ：两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。 B 建立形心坐标如图, 求图形对形心的极惯性矩。 A 圆 x y O d ? d? §4 转轴定理·主惯性轴* 一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 dA x y y x a x1 y1 x1 y1 坐标轴 x y 绕 O 点逆时针旋转 ? 角，得到新的坐标系 x 1 y1 O 同理，可得： 二、截面的主惯性轴和主惯性矩 上式可以求出两个相差90°的两个角度?0，与 两个?0 对应的坐标轴x0和 y0 称为主惯性轴；简称主轴；平面图形对主惯性轴之惯性矩称为主惯性矩。 将Ix1对?取导数，得 若?=?0，使 ，则对应于?0所确定的坐标轴，图形的惯性矩为最大值或最小值。将?0代入上式并令其等于零，则得 三、形心主轴和形心主惯性矩 通过平面图形形心C的主惯性轴，称其为形心主惯性轴。 平面图形对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩 形心主惯性矩： 杆件横截面的形心主惯性轴、形心主惯性矩和杆件的形心主惯性平面，在杆件的弯曲理论中有重要意义。截面对于对称轴的惯性积等于零，截面形心又必然在对称轴上，所以截面的对称轴就是形心主惯性轴，它与杆件轴线确定的纵向对称面就是形心主惯性平面。 求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置 ④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — ?0 ⑥求形心主惯性矩 例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d) 解： ①建立坐标系如图。 ②求形心位置。 ③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy d b 2d x y O xC yC x1 d b 2d x y O xC yC x1