第五节 随机变量的函数的分布.ppt

概率论 概率论 第五节 随机变量的函数的分布 问题的提出 离散型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布 一、问题的提出 在实际中, 人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 求截面面积 A= 的分布. * 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布， * 再比如, 已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布， 求功率 W=V2/R (R 为电阻) 的分布等. 二、离散型随机变量函数的分布 例1: 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 设随机变量 X 的分布已知, Y=g (X), 如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件,两者具有相同的概率. 故 如果 g(xk) 中有一些是相同的, 把它们作适当并项即可. 一般地, 若X是离散型 r.v ，X 的分布律为: X ～ 则 Y=g(X) ～ * 如： X ～ 则 Y=X2 的分布律为： Y ～ 三、连续型随机变量函数的分布 解: 设Y 的分布函数为 FY(y)， 例2: 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. 于是Y 的密度函数: 故: 注意到: 0 x 4 时， 即: 8 y 16 时， 此时: Y=2X+8 例3: 设X具有概率密度 , 求Y=X2 的概率密度. 当 y0 时, 注意到: Y=X2 0, 解: 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ， 求导可得: 若 则 Y=X2 的概率密度为： 该概率密度函数对应的分布为： 从上述两例中可以看到, 在求 P(Y ≤ y) 的过程中, 关键的一步是设法从 { g(X) ≤ y} 中解出X, 从而得到与 { g(X) ≤ y} 等价的X 的不等式. 这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率. 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法. 例如: 例4: 设随机变量X的概率密度为: 求 Y = sinX 的概率密度. 解: 所以： 其中， x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 . 设 X是一个取值于区间 [a, b], 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g(x)0 或恒有 g(x)0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为： 定理: 解： 例7 设随机变量 服从正态分布， 也服从正态分布. 证明： *随机变量函数的分布 II. 连续型随机变量函数概率密度的求法: (1)先求出Y的分布函数与X的分布函数之间的关系： (2)再两边同时对y求导: I. 离散型随机变量函数分布律的求法: * * * * * * * * 概率论 概率论 * * * * * * * *