2014年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点（全课时）课件 新人教A版必修1.ppt

中外历史上的方程求解 中外历史上的方程求解 中外历史上的方程求解 中外历史上的方程求解 3.1.1 方程的根与函数的零点 3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点． 解：由题意知，函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3， 知方程x2－ax－b＝0的两个实根是2和3. 故有a＝2＋3＝5，－b＝2×3，即b＝－6， 因此g(x)＝－6x2－5x－1. * * a b x y 0 函数 的图像在闭区间[a,b]上连续不断。 结论 思考1：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么? 有零点，至少有一个，但不确定个数，即存在零点。 结论 a b x 约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法. 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法. 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。 国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。 同样，指数方程、对数方程等超越方程也是没有求根公式的。 方程解法史话:数学家方台纳的故事 1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14，x3+11x=20，……；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！ 方台纳 探究：求下列方程的实数根，画出相应函数的简图， 并求出函数图象与x轴交点的坐标。 问题探究 x y O 思考：方程根与相应函数图象有什么联系? -1 3 ① x y O 1 ② ③ y x O 1 2 无实数根 ④ x y O -1 思考： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？ 提出问题： 一元二次方程 的根与二次函数 的图象有什么关系？ 结 论: 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数. 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标. 推广到一般情形是: 函数y=f(x)的图象与x轴的交点情况 方程f(x)=0的实根情况 想一想：推广到一般情形又怎样呢？ 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点 二次函数y=ax2+bx+c 的图象 ?0 ??0 ?0 判别式 ?=b2-4ac 有两个不等的 实数根x1，x2 有两个相等实数根x1=x2 没有实数根 x y x1 x2 x y x1=x2 x y 一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图象有如下关系： (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 没有交点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 函数零点的定义： 注意： 零点指的是一个实数； 零点是一个点吗? D 问题：函数 的零点是（ ） A.（-1，0），（3，0） B. x=-1 C. x=3 D. -1和3 定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point). 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 剖析概念,你能得出什么结论吗？ 结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。 代数法 图象法 问题：你能从下图中分析此函数有几个零点吗？ -2 -1 2 3 想一想,怎样求函数的零点呢？ 求函数的零点有两种方法： ①代数法:求方程f(x)=0的实数根； ②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。 下面我们来探究二次函数的零点个数情况 1.用代数法探究 结论：二次函数 (1)△0,二次函数有两个零点； (2)△=