概率Ch4-1数学期望.ppt

§4.1 随机变量的数学期望 4.1.3 数学期望的性质 证明：(1) c是这样的随机变量，它只可能取值c，因而它取c的概率为1，于是E(c) = c?1 = c． 以下仅就X为连续型随机变量的情形给出(2)(3)(4)的证明，离散型情形类似可证． 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，其边缘概率密度为fX(x)，fY(y)． (3) §4.1 随机变量的数学期望 4.1.3 数学期望的性质 证明：(1) c是这样的随机变量，它只可能取值c，因而它取c的概率为1，于是E(c) = c?1 = c． 以下仅就X为连续型随机变量的情形给出(2)(3)(4)的证明，离散型情形类似可证． 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，其边缘概率密度为fX(x)，fY(y)． (4) 若X和Y相互独立，此时f(x，y) = fX(x)fY(y)，故有 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 一、数学期望的概念 三、数学期望的性质 二、随机变量函数的数学期望 §4.1 随机变量的数学期望 第四章 随机变量的数字特征 随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性质，从中可以了解到随机变量落入某个区间的概率，但是这还不足以给人留下直观的总体印象． 另外，在一些实际问题中，常常不需要去全面考察随机变量的整体变化情况，只需知道随机变量的某些统计特征就可以了． 例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好． 第四章 随机变量的数字特征 随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性质，从中可以了解到随机变量落入某个区间的概率，但是这还不足以给人留下直观的总体印象． 另外，在一些实际问题中，常常不需要去全面考察随机变量的整体变化情况，只需知道随机变量的某些统计特征就可以了． 再如，在评定一批灯泡的质量时，主要看这批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差，平均寿命越长，灯泡质量越好，灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小，灯泡的质量就越稳定． 第四章 随机变量的数字特征 从这两个例子可以看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但却可以概括描述它在某些方面的特征． 这些能代表随机变量主要特征的数字，称为随机变量的数字特征．本章介绍随机变量的几个常用数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 某年级有100名学生，17岁的有20人，18岁的有30人，19岁的有50人，则该年级学生的平均年龄为 事实上，平均年龄是以频率为权重的加权平均值． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4-1】(掷骰子游戏)规定掷出1点得1分；掷出2点或3点得2分；掷出4点、或5点、或6点得4分，共掷n次．投掷一次所得的分数X是一个随机变量，则X的分布律为 试问：预期平均投掷一次能得多少分？ 解：若在n次投掷中，得1分的共n1次，得2分的共n2次，得4分的共n3次， X 1 2 4 pi 1/6 2/6 3/6 §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【定义4.1】 设离散型随机变量X的分布律为P{X = xi} = pi，i = 1, 2, …, 若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X的数学期望或均值．记为E(X)或EX，即 (4.1) 若级数 发散，则称随机变量X的数学期望不存在 说明：(1) 随机变量X的数学期望E(X)是一个常量，与一般的平均值不同，它是从概率的角度计算随机变量X所有可能取值的平均值，具有重要的统计意义． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【定义4.1】 设离散型随机变量X的分布律为P{X = xi} = pi，i = 1, 2, …, 若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X的数学期望或均值．记为E(X)或EX，即 (4.1) 若级数 发散，则称随机变量X的数学期望不存在 说明：(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改