[2018年最新整理]1极限理论1.ppt

函数与极限 Mathematical Analysis Mathematics 源自希腊文 Mathemas , 意含： Knowledge Congnition Understanding Perception Mathematical Analysis Infinitesimal Analysis Analysis by means of infinitesimals Limits and Convergence Historical View 古希腊时期·······几何、比例 中世纪的欧洲·······代数 《Liber Abbaci》 Fibonacci 写的商用算术和代数手册 一次和二次方程式 十五与十六世纪 Descartes Fermat ········解析几何 十六世纪末、十七世纪初 Galilei Kepler 利用数学去了解宇宙 1660年末期······新的计算工具 Newton Leibniz ········Calculus Newton: fluxions (流数) Leibniz: infinitesimals (无穷小量) 十八世纪 Laplace Lagrange 了解许多物理现象 数学家自认拥有 the key to reality George Berkeley 抨击“流数” 和 “无穷小量” 的定义都不明确 十九世纪 Cauchy 编写了 《The Ecole Polytechnique Course in Analysis》 ····· “do calculus right” 强调严密性 Cauchy Bolzano 给了导数和积分的定义······· in terms of an intuitive real number system Weierstrass 将分析学建立在仅依靠代数和算数的逻辑基础上·······极限的 定义 Weierstrass 、Dedekind 、Cantor et al. Construct 实数系 in terms of intuitive set theory Peano 、Zermelo 、Russell et al. (1890s ~) Worked on axiomatic set theory 数 列 极 限 一、概念的引入 二、数列的定义 四、数列极限的性质 五.小结 三、数列的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播放 ——刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 播放 三、数列的极限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 几何解释: 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 例3 证 例4 证 1.有界性 例如, 有界 无界 定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 例5 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同