二阶矩阵d.doc

二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ① ( (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为 ②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下： 初赛 复赛 甲 80 90 乙 86 88 2 3 m 3 －2 4 ③ 概念一： 象 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示，叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。 ③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行） ④列矩阵：（仅有一列） ⑤向量＝（x,y））或列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。 概念二： 由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即，记为0。 ②二阶单位矩阵：，记为E2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法 定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积，即＝＝ 二阶矩阵与线性变换 1. 变换 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：→＝，那么根据二阶阵与列向量的乘法规则，可以改写为→＝的矩阵形式，反之亦然(a，b，c，d∈R)． 2. 几种常见的平面变换 (1) 当M＝时，则对应的变换是恒等变换． (2) 由矩阵M＝或M＝(k0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换． (3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称． (4) 当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度． (5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换． (6) 由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换． 3. 变换的复合与矩阵的乘法 (1) 一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足变换律． (2) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)． (3) 矩阵的乘法不满足消去律. 1. 求点A(3,6)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标． (－3,3) 2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．m=2.k=-4) 3. 已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x,2x)，则有＝，∴，∴T＝. 4. 求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．x＝ 5. 求直线x＋y＝5在矩阵 对应的变换作用下得到的图形．点(0,5) 题型1　求变换前后的曲线方程 例1　(2011·盐城三模)求曲线C：xy＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线C1的方程． 解：设P(x0，y0)为曲线C上任意一点，它在矩阵M对应的变换下作用得到点Q(x，y)，由＝，得，解得.因为P(x0，y0)为曲线C上一点，所以x0y0＝1，所以·＝1，即x2－y2＝4，所以曲线C1的方程为x2－y2＝4. 已知矩阵M＝，N＝，矩阵MN对应的变换把曲线y＝sinx变为曲线C，求曲线C的方程． 解： MN＝＝， 设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有 ＝，即.所以. 又点P(x0，y0)在曲线y＝sinx上，故y0＝sinx0，从而y＝sinx. 所求曲线C的方程为y＝sinx. 题型2　根据变换前后的曲线方程求矩阵 例2　已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝(a0，b0)对应的变换