二阶矩阵环的交换图的自同构.pdf

第55卷 第 1期 中山大学学报 (自然科学版) Vo1．55 No．1 2016年 1月 ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM UNIVERSITATIS SUNYATSENI Jan． 2016 DOI：10．13471／j．cnki．acta．snus．2016．01．007 二阶矩阵环的交换图的自同构 周津名 ， (1．中国矿业大学理学院，江苏徐州221116； 2．合肥师范学院数学与统计学院，安徽 合肥 230601) 摘 要 ：设厂(肘)为有限域上二阶矩阵环的交换图，通过构造，(M)的压缩图并研究两图的自同构群之间的关 系，完全刻画出F(M)的所有 自同构。 关键词 ：矩阵环；非交换环；交换图；自同构 中图分类号：O153．3 文献标志码：A 文章编号：0529—6579(2016)01—0039—05 Automorphismsofthecommutinggraphover2 ×2matrixring ZHOUJinming， (1．SchoolofSciences，ChinaUniversityofMiningandTechnology，Xuzhou221116，China； 2．SchoolofMathematicsandStatistics，HefeiNormalUniversity，Hefei230601，China) Abstract：Let1-(M)bethecommutinggraphof2×2matrixringoverafinitefield．Thecompressed graphofF(M)isconstructedandtherelationshipoftheautomorphismgroupsofthesetworgaphsisstud— ied，thenalltheautomorphismsofF(M)aredetermined． Keywords：matrixrings；noncommutativetings；commutingrgaphs；automorphisms 近年来，很多学者致力于研究两个同构的交换 1 预备知识 图所对应的非交换环之间的关系及交换图的参数问 题 ¨ 。与此 同时，我们注意到关于图的自同构 本文讨论的图均为简单 图。对 图 ，，通常用 问题的研究已取得很多成果，例如强正则图、广义 (厂)表示 ， 的顶点集 。对顶点 ∈ (F)，用 正交图、循环图、零因子图、Cayley图等图的自同 N(x)={Y∈V(厂)IY与 邻接}表示 在 ，中的 构的刻画 引，但对于交换 图的自同构 问题的研 邻集。设 V(r)，若 中的任意两个不同的 究却较为滞后。到 目前为止，我们仅仅搜索到两篇 顶点在 ，中均邻接，则称 为 ，的一个团；若 论文研究有限群的交换 图的自同构 ，且 目前 中的任意两个不同的顶点在图厂中均不邻接，则 还没有公开发表的完全刻画非交换环的交换图的自 称 为 ，的一个独立集。若 (厂)上一个双射or 同构群的论文，而研究交换图的自同构群有助于研 保持厂顶点间的邻接关系 (即 与Y邻接当且仅当 究代数系统上保交换的非线性映射。基于此，本文 o-(x)与 ()邻接)，则称or为厂的一个 自同构。 致力于研究有限域上二阶矩阵环的交换 图厂( ) ，的所有 自同构形成的群称为厂的自同构群，记 的自同构群，并将其完全刻画出来 。 为Aut(，)。设n为正整数，记Js为n次对称群。 收稿 日期：2015—07—0