北理工高等代数课件B—6.ppt

§B.6 欧氏空间 ;一、内积与度量 ;这里 是V 的任意向量，k是任意实数，则称实数 为向量 与 的内积，而这样的线性空间称为Euclid空间，简称欧氏空间。 ; 例 设V是定义在闭区间[a,b]上的所有连续函数构成的函数空间 。对于V 中任意二个函数 ，规定其内积为 则V 便是一个欧氏空间。; 例 在全体n阶实方阵所构成的线性空间 中，对任意两个n阶矩阵A、B，规定其内积为 容易验证它满足定义的四个条件，因此 对于所定义的内积构成一个欧氏空间。 ;注 (1) ;定理 设 V是欧氏空间，则对任意 均有 ;因 的系数大于零，故 ; 定义 设 V 是欧氏空间， ，且 均不 是零向量，则 与 的夹角 规定为 ; 定义 若 ，则称向量 与向量 正交， 记为 。 ;二、度量矩阵;于是;称A为基 的度量矩阵。显然A是对称矩阵。;三、标准正交基; 定理 设 为n维欧氏空间V 的一个标准正交基， 则 ;证; 定理 在标准正交基 下，任一向量 均可以表示成; 定理 设 是欧氏空间 V 的一个正交向 量组，则 线性无关。 ;于是; 把两个线性无关的向量化 为两个标准正交的向量： ;又 ，故 。从上式解得 ; 定理 设 V是欧氏空间， 是 V 中m个 线性无关的向量，则 V 中存在m个标准正交的向量 ，并且 ;1. 正交化： ; 例 已知 中的 ，求三个标准正交的向量。 ;2. 单位化;定理 有限维欧氏空间必有标准正交基。 ;则 两两正交，且都不是零向量，因此它们 是 的一个正交基。 ;3．把 化为 的一个标准正交基： ;四、正交矩阵; 由 得 ;;又 （欧氏空间），且 ;故有; 例 设 ，其中 。证 明：B是正交矩阵。 ;∵ B的列向量组标准正交 ;（另法） ∵ ;又 ，而 ;故 。所以 ; 最后讨论从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵。;因为 是标准正交基，所以;式(2)实际上就表示了如下矩阵等式