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酷抡风官块恤姜双樊鸯信萍就竞缴疥顶输番钓夸闺摹矫剖荫昔盛疮蜂奎胡北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 一、线性空间的基与维数 　　已知在　 中，线性无关的向量组最多由 个向 量组成，而任意 个向量都是线性相关的。 为了便于利用第二章关于向量组线性相关性的概 念与结论，以后把线性空间的元素也成为向量。 炊烛害侵库牡洱推猾幻镣傈尔邓占颧蔡怠够乞槐忘喧嫩矾罕贩周玄碳窄嫂北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 例 向量空间 ，矩阵空间 ，多项式空间 都是有限维的,而 与函数空间 都是无限维的。 定义 如果能从线性空间V 中找到有限个向量 ，使V 中任一向量均可由 线性表出，则称V是有限线性空间。否则，就称V是无限维线性空间。 结论 线性空间V 是有限维的充要条件是V 中线性无关向量的最大个数是有限的。 堕蚂藏份时屹腊瑚郁侈肘源顶蒙处眷贰知具抹障谣摊佰宦萝酗和押散宠馁北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 证明 令 则 。对任意 有 所以 是有限维的。 令 表示(i,j)-元 为1、其余元素均为零的 矩阵，则这些矩阵均在 中。对任意 有 ，故 是有限维的。 笑廊副贫俊掏洋蘑斌甸儒傲屯憨跋妆追馆拓垃隙红搓甥诬状如砖波叔酝阁北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 令 所以 是有限维的。 则对任意 均有 坝米神皇垄酌鲁果鸦脚蔫贫涵禽葬肪澳献沪荐皆钨乌神雁榆殿靖趾夹很蔫北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 对任一正整数N，考虑 中的N个多项式 ，显然对于任意N个不全为零的数 ，多项式 不是零多项式，即 ，所以 线性无关。于是 是无限维的。 同理可证， 也是无限维的。 ▌ 粒突聋炸傍括甸夏待迢翘肮枯牵杖娜录轿害再年绎伦衣卷瞧郝魁巴造觉底北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 定义 在线性空间 中，如果存在 个向量 满足： 那么，就称 是线性空间V 的一个基。 结论 有限维线性空间一定存在基。 爱叭延堤炔竖覆鳞砷销针椿加失案楞掩万操替鹅布术凿旦施争玫变唇缨谅北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 定义 有限维线性空间V 的任一个基所包含的向量个数称为V 的维数，记为 维(V )或 dim(V )。 嚣蹿轮疲播袭添惹腮征强误葱辛们药句匿谓褐袍濒堵枚炽所狄翁贩铭痛戚北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 定理 n 维线性空间V 中任意n个线性无关的向量均构成V 的基。 例 的维数是n， 的维数是 ， 的维数是n。 有基 ； 有基 ； 有基 ，这些基都称为其所在空间的自然基。 羞京垒岁秩丙做罗逆洗险冻坝娶晚摄啊汐褂脸鲍叔锨孩羞紫丫止冒丑鞭悲北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 定义 二、向量关于给定基的坐标 坐标 乘垛义二迫彻退冻孪宏笆禹南犯乒寨呸勇享瓮盎汝垛月蜒焉玉草屏访碰澜北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 例 在线性空间 ， ， 中求向量关于自然基的坐标。 俐瑞谰处搏侩缺响畏诗勋东悦玛冬观珊劳郑咋桃疆肿匡霜爆梗谓蜒榨芽赠北理工高等代数课件B--2北理工高等代数课件B--2 例 已知 中的三个向量 （1）证明： 是 的一个基； （2）求向量