第三章 离散傅里叶变换(DFT ).doc

第三章 离散傅里叶变换（DFT） 傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform,简称DFT）。DFT之所以更为重要，是因为其实只是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行,这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更重要的是DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本章主要讨论DFT的定义、DFT的物理意义及基本性质、频域采样和DFT的应用举例等内容。 3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义 是一个长度为M的有限长序列， 则定义的点离散傅里叶变换为 （3.1.1） 的离散傅里叶逆变换IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform,简称IDFT)为 （3.1.2） 式中,，称为DFT变换区间长度, ≥M，通常称（3.1.1）式和（3.1.2）式为离散傅里叶变换对。下面证明的唯一性。 把（3.1.1）式代入（3.1.2）式有 由于 , M为整数 所以，在变换区间上满足下式： 0≤≤－1 由此可见，)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例 3.1.1 ，求的8点和16点DFT 。 解： 设变换区间=8， 则 设变换区间=16， 则 由此例可见，的离散傅里叶变换结果与变换区间长度有关。对DFT与Z变换的关系及的物理意义进行讨论后，上述问题就会得到解释。 3.1.2 DFT和Z变换的关系 设序列的长度为， 其Z变换和DFT分别为： 比较上面二式可得关系式 （3.1.3） 或 （3.1.4）（3.1.3）式表明序列的点DFT是 的Z变换在单位圆上的点等间隔采样。 （3.1.4）式则说明为的傅里叶变换 在区间上的点等间隔采样。这就 是DFT的物理意义。由此显而易见，DFT的变 换区间长度不同，表示对在区 间上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的 变换结果不同。上例中，，DFT变换 区间长度分别取8、16时，的幅度曲线 如图3.1.1所示。 图 3.1.1 与的关系 3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， 与均为有限长序列， 但由于的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的隐含周期性， 且周期均为。 对任意整数， 总有 所以(3.1.1)式中，满足 同理可证明(3.1.2)式中 ， 实际上， 任何周期为的周期序列都可以看作长度为的有限长序列的周期延拓序列， 而则是的一个周期， 即 （3.1.5） （3.1.6） 上述关系如图3.1.2所示,一般定义周期序列中从=0到－1的第一个周期为的主值区间,而主值区间上的序列称为的主值序列。因此与的上述关系可叙述为：是的周期延拓序列； 是时的主值序列。 为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示： 图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓式中表示以N为周期的周期延拓序列， 表示对求余， 即如果 则 例如，则有 所得结果附合图3.1.2所示的周期延拓规律。 如果 的长度为， 且则可写出的离散傅里叶级数表示 式 (3.1.8) (3.1.9) 式中 (3.1.10) 为的主值序列。将（3.1.8）式和（3.1.9）式与DFT定义（3.1.1）式和（3.1.2）式相比较可知，有限长序列的离散傅里叶变换,正好是的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值序列，即。后面要讨论的频域采样理论将会加深对这一关系的理解。 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.2.1 线性性质 如果和是两个有限长序列， 长度分别为和，且 式中，a、b为常数，取，则