同济-高等数学-第三版(4.2) 第二节 换元积分法.ppt

用第二换元法去根号 令: x = ?( t )= asin t ，t ? It =( -? /2,? /2 )， 则 d x = a cos t d t ， 选择代换形式及代换区间 计算相应的积分 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =?( t ),t ? It 解 出相应的反函数并代入求得的积分结果中。 对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ?( t )= asin t，可作出辅助三角形： 由此写出相应反函数及相关三角函数。 此例代换可用于求如下形式的无理式的积分： 例：求积分 对于无理函数的积分常需考虑 通过代换将其转化为有理函数进行积分。 对本例，为去掉二次根号，应设法将根 号内部分化为完全平方。 由被积式根号内形式联想到恒等式： 1 + sh 2 t = ch 2 t ，( - ? t + ? )， 1 + tan 2 t = sec 2 t ，( 2k? - ? /2 t 2k? + ? /2 )； 故可考虑根据这种函数关系设置相应代换 x = ?( t )= a tan t 或 x = ?( t )= a sh t 以去掉二次根。 由双曲函数的性质知，函数 x = ?( t )= ash t 在区间 I =( - ? ,+ ? )内单调，而三角函数 x = a tan t 的单调性 相对复杂，故选择双曲函数设置代换。 令：x = ?( t )= ash t，t ?( - ? ,+ ? ). 则 d x = ach t d t ， 用第二换元法去根号 选择代换形式及代换区间 计算相应积分并回代原变量 此例代换可用于求如下形式的无理式的积分： 例：求积分 对于无理函数的积分常需考虑通过代换将其转 化为有理函数进行积分。对本例，为去掉二次根号，应 设法将根号内部分化为完全平方。 由被积式根号内的形式联想到恒等式： 1 - sec 2 t = tan 2 t ，( 2k? - ? /2 t 2k? + ? /2 )； ch 2 t - 1 = sh 2 t ，( - ? t + ? )， 由于 x = ch t 在( - ?,+ ? )内恒为正值，不适合本例 x 的变化范围，故考虑根据三角函数关系设置相应的代 换。为此需进一步考察三角函数 x = asec t 的单调区间。 * 由分项积分法只能求出由基本积分表上的 简单函数的和差所构成的函数的积分，而对于 其它的函数形式，如由这些简单函数乘积或复 合构成的函数的积分，分项积分法就显得无能 为力了。因此必需进一步研究积分的方法。 换元积分法是由复合函数微分运算法则导 出的积分法则，它是积分运算中应用得最多， 解决问题最多，也是最灵活的积分方法。 导数定义是构造性的，其运算法则可直接由导数定 义导出。不定积分运算由导数运算定义，其定义是非构 造性的。因此不定积分不是一种独立运算，它只是导数 运算的逆运算。而所谓积分运算法则实际是将导数运算 法则逆转而得的。 为建立对应于复合函数的 不定积分运算法则，可先结合 不定积分概念重新考察相应的 复合函数导数运算法则。 微分学的研究讨论了各类函数的微分运算法则，现 从积分运算的角度考察可些运算法则，以建立相应的不 定积分运算法则： 若简单函数 F( u )可微，则有 d F( u )= F ?( u )d u = f( u )d u . 按不定积分概念，这一情形也 可叙述为，简单函数 f( u )存在原 函数 F( u )，使得 ∫ f( u )d u = F( u )+ C . 若简单函数 F( u )可微，且简单函数 u = ?( x )也可 微，则复合函数 F[?( x )]可微，且有 d F[?( x )]= F ?[?( x )]d ?( x )= f[?( x )]d ?( x ) = f[?( x )]? ?( x )d x . 按不定积分概念，这一情形也可叙述为，复合函数 f[?( x )]? ?( x )存在原函数 F[?( x )]，使得 ∫ f [?( x )]? ?( x )d x = ∫ f [?( x )]d ?( x ) = ∫ F ?[?( x )]d ?( x ) = ∫ d F[?( x )]= F[?( x )]+ C . 由于