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矩阵的初等变换与线性方程组 2010-10-9 §1 矩阵的初等变换 1. 定义1 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换 (1)对调矩阵两行： (2)数k乘矩阵某一行： (3)数k乘以矩阵某一行加到另一行的对应元素上： 把定义中的“行”换成“列”，称为矩阵的初等列变换。 矩阵的初等变换-----矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。 例，对三阶单位矩阵做初等变换。 =E (1,2), = E (2(3)), =E (1，2(3)), 初等方阵 定义 初等方阵 对单位矩阵施行一种初等变换得到的矩阵。 有三种初等方阵：E( i, j ), E(i(k)), E(i, j(k)) 2. 等价矩阵 （P59） 等价矩阵的定义 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B行等价: 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B列等价: 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价：A ~ B 等价矩阵的性质 (1)反身性 A~ A (2)对称性 若A~ B, 则 B ~ A (3)传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则A ~ C 3. 阶梯形矩阵 阶梯型矩阵就是各行排在前面零的个数，随着行数的增加而严格增加. 下面矩阵是阶梯形： 下面矩阵不是阶梯形： 4. 行最简形矩阵 在阶梯形矩阵当中，非零行的第一个非零元素是1，且所在列其它元素是0。例如下面矩阵是行最简形矩阵。 例题：把下面矩阵化为行最简形矩阵。 方法： 先化为阶梯形矩阵： 方法：用初等变换（行初等变换） 目标：上三角形 再化非零行第一个非零元素为1，并把所在列的其他元素化为0。 。。。。。。 （再化行最简形） 机动例： 再把上述矩阵化为行最简形。 5. 矩阵的标准形 任何一个矩阵A,总可以经过初等变换把它化为标准形 , 标准形由m, n, r三个数完全确定，其中r是行阶梯形中非零行的行数。 例如 P61, 6. 用矩阵的初等行变换方法求逆矩阵 （1）理论准备 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵, 使 . （2）求逆矩阵的方法 7. 用矩阵的初等行变换方法求矩阵方程 (A | B )　初等行变换→　（ E | ） 例3（P65） 求解矩阵方程，其中，。 解：方程两边左乘A逆阵：， （有两个方法求： 方法一：先求A的逆阵，再做乘法运算。 方法二：利用行初等变换：(A | B )　初等行变换→　（ E | ）。 例1（P64） 设的最简形矩阵为F，求F, 并求一个可逆矩阵P，使 PA= F. 方法： （A | E ）初等行变换→ （ F | P ） 6作业 P 78 1 （1） （2）， 2， 3（1），4（1），5（1） 堂上练习 题6（注意矩阵方程的表示，求解） §2 矩阵的秩 1.定义 定义3 A的k阶子式 在矩阵A中任选k行k列，这些行列交叉处的元素按原来顺序组成的一个行列式称为矩阵 A的k阶子式。 定义4 矩阵的秩 如果矩阵A中不等于0的子式最高阶数为r，则称r 为矩阵的秩.记为R(A), 即R(A)=r. 2．结论 满秩矩阵 可逆矩阵成为满秩矩阵，此时 , R(A)= n, , R(A) n. 定理2 若A ~ B, 则 R(A)= R(B). 推论 若可逆矩阵P, Q使 PAQ=B, 则R(A)= R(B)。 3．计算矩阵秩的方法 按定义求矩阵的秩的方法 找到一个r阶子式不等于0，证明所有r+1阶子式全等于0 此时，R(A)=r 例 计算下列矩阵的秩 , A有一个三阶子式不为零，即， A的所有四阶子式全为零（因为A的所有四阶子式的最后一行全为零），所以A的秩等于3，即R(A)=3。 事实上，A是一个阶梯形矩阵, 关于矩阵的秩有下面的结论： 矩阵的秩 = 阶梯形矩阵中的阶梯个数。 即 矩阵的秩 = 阶梯形矩阵中非零行向量的个数 用初等行变换方法求矩阵的秩 用初等行变换方法把矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵中非零行向量的个数即为矩阵的秩。 解：用初等行变换方法求B的秩，并求B的一个最高阶非零子式。 因为不为零的行向量有三个，所以B的秩等于3, 即R(B)=3。 在阶梯形矩阵当中，由前三行的第1，3，4列所构成的三阶子式不为零（），所以，在B中选相应的三阶子式也不为零，即。 4．秩的性质 ； ； 若A ~ B, 则 R(A)