线性方程组与矩阵秩的若干问题.ppt

线性方程组与矩阵秩的若干问题福建师范大学数计学院代数教研室肖民卿2008年10月01矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容：矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用；020304矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。引言m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为：线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用线性方程组(1)的矩阵表示为：其中，线性方程组有解的判定定理线性方程组(1)有解的充分必要条件是这里，表示矩阵的秩。特别地，若，则线性方程组(1)有唯一解；若，则线性方程组(1)有无穷多解。3214利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。设几何空间中两条直线的方程分别为直线与直线的位置关系这样，与的位置关系取决于线性方程组解的情况。记2与相交3（ii）与重合1则有如下结论：5（iv）与异面4（iii）与平行设几何空间中直线和平面的方程分别为01记022.直线与平面的位置关系2与相交3（ii）在上1则有如下结论：4（iii）与平行01设几何空间中三个平面的方程分别为02记3.三个平面的位置关系01三个平面有一个公共点02（ii）三个平面有一条公共直线03（iii）三个平面平行04（iv）三个平面构成三棱柱则有如下结论：Frobenius不等式：01Sylvester不等式：关于矩阵的秩,有两个重要的不等式.设、、分别是、、矩阵.02二.矩阵秩不等式中的一些问题即以下等式成立的条件分别是什么？2在这两个不等式中等号成立的条件是什么？1问题：许多教材以习题方式给出等式①成立的充分必要条件：01当且仅当齐次线性方程组与齐02次线性方程组同解.03利用这一结果，可以得到等式②成立的充分必要条件：04当且仅当齐次线性方程组与齐次线性方程组同解.05对于等式③和等式④，文献[3]、文献[4]均做了研究，给出等式成立的充分必要条件.文献[3]的结论：的充分必要条件是存在矩阵和，使得.的充分必要条件是存在矩阵和，使得.其中，是的任意取定的一个满秩分解.文献[4]的结论：1的充分必要条件是,对于齐次2线性方程组的任一解,都存在使得.或3的充分必要条件是,对4于齐次方程组的任一形如的解,都存在,使5得.6者说,的零空间包含于的象空间,即.701文献[5]利用矩阵的广义逆，分别给出等式①~等式④成立的充分必要条件.02这里列出其主要结果：引理1对于任意适维矩阵、、，有引理2对于任意、，有