矩形的判定定理及其应用复习讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册.docx

矩形的判定定理及其应用复习讲义

题型A有关“传统解证型”问题

知识点概述

矩形判定定理

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形；

③对角线相等的平行四边形是矩形；

④对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

【解说】

(1)这类问题是直接或间接依据判定定理的解证问题.

(2)若题给条件仅告诉是一个四边形，须首先证明该四边形是一个平行四边形，然后再证一个角为直角或两对角线相等，即可证得该四边形是矩形.

(3)若题给条件是四边形含有两条对角线，则证两条对角线互相平分，推导出四边形是平行四边形，再证两对角线相等，推导出该平行四边形是矩形.

(4)由于存在直角三角形，因而当已知有关线段长时，可通过计算证明.

题型A--I“一个角是直角的平行四边形”解证型问题

知识点概述

这是矩形判定的首选定理.

【解说】

(1)熟知有关解证垂直的定理

①“互余法”：如果一个三角形两个角互余，那么第三个角是直角；

②证所证角等于已知直角；

③证所证角所在三角形与已知直角三角形全等；

④等腰三角形“三线合一”逆定理；

⑤两平行线中的一条垂直一条直线，则另一条也垂直该直线；

⑥一直线垂直两条平行线中的一条，则该直线也垂直另一条.

(2)推导“一个角是直角”不仅仅可以通过逻辑推理，还要特别注意可以通过计算导出.

【例12】如图8-2-12,在平行四边形ABCD中,E、F为BC上两点,且.BE=CF,=DE..求证:四边形ABCD是矩形.

【解析】因为BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,所以BF=CE.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC.

在△ABF和△DCE中,AB=DC,BF-CE,

所以△ABF≌△DCE,所以∠B=∠C.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC.

所以∠B+∠C=180°,所以∠B=∠C=90°.所以四边形ABCD是矩形.

题型A-2“三个角为直角的四边形”解证型问题

知识点概述

此类问题主要依据解证垂直问题的定理：如“邻补角的两条角平分线互相垂直”以及“平行线的同旁内角的平分线互相垂直”定理.

【解说】借助方程思想引进参数，依据“180°”建立等量关系式求出90°角.

【例13】已知:如图8﹣2﹣13,在平行四边形ABCD中,AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点.求证：四边形EFGH是矩形.

【解析】因为AE平分∠DAB,所以∠1=1

同理∠2=12∠ADC.

因为AB∥DC,所以∠DAB+∠ADC=180°.

所以∠1+∠2=90°.所以∠AFD=90°.

所以∠EFG=∠AFD=90°.同理∠EHG=∠FEH=90°.

所以∠EFG=∠FEH=∠EHG=90°.所以四边形EFGH是矩形.

题型A-3“对角线相等的平行四边形”解证型问题

知识点概述

本定理应用的对象是：

(1)题给图形中所证矩形已画出两条(少数是一条)对角线时；

(2)当证明一个内角为直角不容易时，可依据“两条对角线相等的平行四边形是矩形”证之，必要时须作出两条对角线.

【解说】本定理是矩形的一个特色，它使矩形派生出两对全等的等腰三角形.

【例14】如图8-2-14所示,已知E为平行四边形ABCD外一点,AE⊥EC,BE⊥ED.求证:平行四边形ABCD是矩形.

【解析】如图8-2-14,连接AC,BD,相交于点O,连接OE.

因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=OC,BO=OD.又因为在Rt△AEC中,AO=CO,∠AEC=90°,据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以AC=2OE.又因为BD=2OE.所以AC=BD.所以平行四边形ABCD是矩形.

题型B有关“构造矩形解证型”的应用问题

知识点概述

这类问题是构造矩形间接依据判定定理的解证问题.

【解说】在解证题中常常需要将一条线段进行平移，其方法常可通过作垂线、平行线构造成直角三角形、矩形、平行四边形来实现.

【例15】(结合学科知识综合型问题)已知,如图8﹣2﹣15,AB⊥BC,DC⊥BC,MAMD,∠AMB=75°,∠DMC=45°,求证:AB=BC.

【解析】证法1:(构造矩形型问题)如图8-2-15(1),过D作DE⊥AB于点E.因为∠B=∠C=90°,所以四边形BCDE是矩形.所以BC=ED.

因为∠AMD=180°-∠AMB-∠DMC=60°,MA=MD,所以△AMD是等边三角形.

因为∠DAE=∠BAM+∠MAD=(90°-75°)+60°=75°.所以∠AMB=∠DAE.

在△ABM和△DEA中,因为∠B=∠AED,∠AMB=∠DAE,AM=AD,

所以△ABM≌△D