直角三角形斜边上中线定理及其应用复习讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册.docx

直角三角形斜边上中线定理及其应用复习讲义

题型A有关“中点垂直求解型”的应用问题

知识点概述

直角三角形斜边上中线定理——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【解说】

(1)直角三角形斜边中线性质定理应用的主要对象是：题给条件含有①中点，②垂直的图形中的解证问题.

(2)中线分所在直角三角形为两个等腰三角形(若一锐角为30°，则其中一个是等边三角形)，为由等边转换为等角奠定了基础.该定理反映了直角三角形特殊线段的数量关系，是进行线段等量代换的依据之一.

【例1】如图8-2-19所示,在△ABC中,∠ACB=90°,E是AB边的中点,CD⊥AB,垂足为D,∠ACD=3∠BCD,求∠DCE的度数.

【解析】本题属于“无角度度数求角度度数型问题”，一般地，借助方程思想，建立角度的等量关系式解之.

在Rt△ABC中,因为AE=EB,所以EC=EA=EB,设∠A=x,

因为CD⊥AB,所以∠BCD=∠A=x(等角的余角相等),

所以∠ACD=3∠BCD=3x,据∠ACB=90建立等量关系式,x+3x=90,

所以x=22.5.又因为∠ECA=∠A,所以,∠DCE=2x=22.5°×2=45°.

题型B有关“已知中点垂直证明型”的应用问题

知识点概述

这是“有关中点解证问题”的重要题型，是中考热点试题之一.

【解说】

(1)题给条件含有中点与垂直(直角三角形、矩形、正方形等)时，非面积型问题，必须明确大都依据该定理.

(2)与三角形中位线解证“中点问题”不同的是，后者常常不含“垂直条件”.

(3)当符合“中点”“垂直”两条件后，正确思维路线是由“线段中点”所在线段，探究该线段是哪个直角三角形的斜边，中线位置、两个等腰三角形及其他已知条件.

【例2】(线段相等型问题)如图8﹣2﹣20,MN为过Rt△ABC的直角顶点A的直线,且BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E,AB=AC,F为BC的中点,求证:DF=EF.

【解析】连接AF.因为△ABC为直角三角形,F为斜边BC的中点,所以BF=AF=CF.因为∠BAC=90°,所以∠BAM+∠NAC=90°.因为EBD⊥MN,CE⊥MN,所以∠BAM+∠DBA=90°,∠BDA=∠CEA=90°.

所以∠DBA=∠NAC.

又因为AB=AC,所以△DBA≌△EAC,所以DB=AE.

因为AB=AC,∠BAC=90°,F为BC的中点,

所以∠ABC=∠FAC=45°,

所以∠DBA+∠ABC=∠CAF+∠CAN,

即∠DBF=∠FAE.又因为DB=AE,AF=BF,

所以△DBF?△EAF,所以DF=EF.

【例3】(线段倍分型问题)如图8-2-21,在矩形ABCD中,过对角线AC的中点OEF⊥AC,分别交AB、DC于点E、F,点G为AE的中点,若AOG=30°,求证:OG-1

【解析】连接CE.因为O为AC的中点,EF⊥AC,所以AE=EC.因为OG为Rt△AOE斜边上的中线,所以OG=AG=GE.又因为∠AOG=30°,所以∠OAG=30°.因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=90°.在Rt△ABC中,∠OAG=30°,所以∠ACB=60°.又AE=CE,所以∠OCE=∠ECB=30°.又∠COE=∠B=90°,CE为△COE和△CBE的公共边,所以△OCE≌△BCE,所以BE=OE.又OE=12ΛE,所以BE=EG=AG=OG,

【例4】(线段垂直型问题)如图8-2-22,BD、CE均是△ABC的高,G、F分别是、DE的中点.求证:FG⊥DE.

【解析】连接EG、DG.因为BD、CE均是△ABC的高,所以CE⊥AB.因为在Rt△CEB中,G是BC的中点,所以EG=12BC.同理可得DG=12BC.所以EG=DG.所以△GDE是等腰三角形.因为F是ED的中点，所以

题型C有关“未知中点垂直证明型”的应用问题

知识点概述

这是“有关中点解证问题”的重要题型，是中考热点试题之一.

【解说】

(1)(特殊)平行四边形两条对角线的交点，等腰三角形底边上高线的垂足、等腰三角形顶角平分线与底边的交点等均隐含“中点”.

(2)圆心也是圆的直径的中点.

【例5】如图8﹣2﹣23,已知△ABC中,CE⊥AD于点E,BD⊥AD于点D,BM=CM.求证:ME=MD.

【解析】延长DM,与CE交于N.因为CE⊥AD,BD⊥AD,所以CE∥BD,所以∠NCM=∠DBM.

又∠CMN=∠BMD,BM=CM,所以△CMN≌△BMD,所以NM=DM,即M是ND的中点.又因为CE⊥AD,所以△NED是直角三角形，所以ME=12ND,

题型D有关“逆定理解