勾股定理培优讲义2023-2024学年人教版八年级数学下册期末复习.docx

勾股定理培优讲义

丢分探因

1.对数的平方、开方及二次根式的混合运算掌握不熟练.

2.未掌握图形的旋转、折叠和平移变换.

3.不善于将语言文字用图形和符号给予表达，缺乏想象力.

要点提示

1.试题中常用基本图形的比例关系.

2.角平分线类比折叠构图[图(f)].

DE=DC

3.平行线类比等腰构图[图(g)].

AB=BC→平行线→角平分线→等腰三角形

例题精析

例1如下图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC,从C点引两条射线CM、CN,分别交于AB于E、F,且∠ECF=45°,试探究AE、BF、EF三线段之间的关系.

在此基础上解决下述问题，如图(c)，在平面直角坐标系中，已知直线交坐标轴于A(a,0)、B(0,b),且a、b满足a

(1)求a、b的值.

(2)如图(c)，C为第一象限角平分线上一点，且.BC⊥AC,求

(3)如图(d),从C点引两条射线CM、CN分别交AB于E、F,且.∠ECF=45°,试探究AE、BF、EF

解如图(e),将△CBF绕C点顺时针旋转90°至△CAH,则AAH⊥

∵∠ECF=45°,

∴∠HCE=45°;

在△CEH和△CEF中,

∴△CEH≌△CEF(SAS),

∴HE=FE,

在Rt△AEH中,AE

∴

同理,如图(f),

将△CBF绕C点顺时针旋转90°至△CAH,

如上所证△CEH≌△CEF,

AE

1

即a

可得a=-2,b=4.

(2)设C(a,a),如图(g),过C点作x轴、y轴的垂线,垂足分别为P、Q点,

易证△BQC≌△APC(ASA),

∴4-a=2+a,

得a=1,

∴C(1,1).

(3)如图(h),如上所述,连CB,将△CBF绕C点逆时针旋转90°至△CAH,易证△CEH≌△CEF(SAS),

∴

例2已知,在△ABC中,AF、BE分别是BC、AC边的中线,且相交于点P,记AB=

(1)如图(a),求证:AP=2PF,BP=2PE.

(2)如图(b),若AF⊥BE于P,试探究a、b、c之间的数量关系.

(3)如图(c),在平行四边形ABCD中,点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点,BE⊥EG,AD=4

解(1)如图(d),连接EF,取AP的中点M,BP的中点N,连EM、MN、NF.

由中位线性质可知EF

∴四边形EMNF为平行四边形，

∴P点平分EN和FM,

∴AP=2PF,BP=2PE.

(2)设EP=x,FP=y,由(1)中的结论可知,BP=2x,AP=2y.

贝x2

①②

①+②得5

两边同乘以4得20

又∴4

两边同乘以5得20

∴

(3)如图(e),作△ABF的AB边的中线FM.

∵EG⊥BE,

∴FM⊥BE;

由(2)中的结论可知，AB

∴36+

∴

典题精练

1.如图,等腰Rt△ABC中,AC=BC,，D

(1)若S△ABD=32,求BD的长.

(2)若BD=4,CD=8,求

2.如图,D为等腰Rt△ABC内一点,AC

(1)若S△ABD=8,求AD的长.

(2)若CD=2,BD=6,求AD的长.

3.已知,D为等边△ABC外一点,连AD、BD、CD,∠

(1)如图(a),若α=30°,CD=3,AD=4,求BD的长.

(2)如图(b),若α=60°,CD=2,AD=6,求BD的长.

(3)如图(c),若α=75°,CD

6.已知等腰Rt△ABC中,BC=AC,AF平分.∠CAB交BC于F,BD⊥

(1)如图(a),求证:BD=CD.

(2)如图(b),过C作CE⊥AD于E,求证:BD=

(3)求DFAF的值

7.如图,AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=90°.

(1)求证:CE=BD.

(2)若AC=2,CE=4,DC=22,求∠ACD的度数.

(3)在(2)的条件下,求DE的长.

8.如图(a),在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为AB边中点,以点D为顶点作∠PDQ=90°,DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F,分别过E、F作AB的垂线,垂足分别为M、N.

(1)求证:EM

(2)把∠PDQ绕点D旋转，当点E在线段AC的延长线上时，如图(b)，则线段EM、FN、AC之间满足的关系式是.(直接写出结果，不需证明

9.如图,四边形ABDM中,AB=BD,AB⊥BD,∠AMD=60°,，以AB为边向外作等边△ABC,BE

(1)求∠BEC的度数.

(2)试探究线段MD、MA与ME之间的数量关系，并加以证明.

(3)若BD=6,则线段EC的长为

10.在Rt△ABC