成才之路2015-2016学年高中数学 212由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质ppt课件 新人教B版选修.ppt

成才之路 · 数学;圆锥曲线与方程;2.1　曲线与方程 2.1.2　由曲线求它的方程、 由方程研究曲线的性质;课堂典例探究 ;课前自主预习;1.方程表示的曲线的判断步骤是怎样的？ 2．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程F(x，y)＝0就是曲线的方程．(　　) (2)如果F(x，y)＝0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．(　　) (3)x2＋y2＝1(x0)表示的曲线是单位圆．; 答案：1.(1)恒等变形：将所给方程进行恒等变形； (2)转化方程：将恒等变形的形式转化为我们熟悉的曲线方程，如直线、圆等； (3)限制条件：注意限制条件，去掉不符合的点作出最后的判断． 2．(1)×　(2)√　(3)×;一、已知曲线求方程 1．求轨迹方程的一般步骤 (1)建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)列式：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}． (3)代换：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)证明：说明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上． 可简记为：建系、列式、代换、化简、证明．;注意：(1)求曲线方程以前，必须确定问题中的坐标系是否建立，若未建立，应先建系．建系是求曲线方程基础的一步，要根据几何关系适当建系，目的是简化求解过程且使曲线方程的形式简单． (2)根据题目中的几何关系列出曲线上的点满足的坐标关系是关键一步，在这里常用到一些公式，如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式等，在化简过程中要保持等价变换，最后化为最简的方程形式．; (3)求曲线方程时步骤中的(2)、(5)两步一般可以省略，但应注意某些点的坐标是否适合方程，即要把多余的点剔除，将遗漏的点补上． (4)求轨迹需要说明曲线类型，求轨迹方程则不必说明曲线类型．;2．建立坐标系的基本原则 (1)让尽量多的点落在坐标轴上． (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴． 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形可利用对称轴为坐标轴建系；条??中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等． 注意：坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，若坐标系选取不当，则会增加运算的繁杂程度．;已知平面上两定点A，B之间的距离为2a(a0)，点M到A，B两点的距离之比为2︰1，求动点M的轨迹． [解析]　如图，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立坐标系．;二、由方程研究曲线的性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质，主要包括以下几个方面： (1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是曲哪些基本的曲线组成的．在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围． (2)研究曲线与坐标轴是否相交．如果相交，那么求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点．;(3)研究曲线的对称性，在曲线方程里，如果以－y代y方程不变，那么曲线关于x轴对称；如果以－x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称；如果同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称． (4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况．;(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线． 因此可以说解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科，即解析几何的基本思想和方法是：数形结合．图形问题代数化，通过代数计算，得到代数结论，然后代数结论几何化，得到几何结论．;三、常见的求轨迹方程的几种方法 1．直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(x，y)间的关系式的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法．直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质．;2．定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征． 3．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．; 4．参数法 如果所求轨迹上的动点