概率论第七章课件2.ppt

本章小结 第7.2节 估计量的评价标准 容易明白, 对同一个未知参数, 采用不同的方法找到的点估计可能不同. 那么, 自然要问: 究竟是用哪一个更“好”些呢? 这里介绍三个评价标准. 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 相合性(或一致性) (2) 有效性 无偏性 标准一: 设 为θ的一个点估计,若 则称 为θ的一个无偏估计. 如果 , 那么 称为 的偏差. 若 则称 是θ的 渐近无偏估计. 假设总体分布的参数为?. 例 7.2.1 验证: 是总体X方差DX＝σ2 的一个无偏估计; 不是方差的无偏估计. 解： =DX 解: =DX 而S2为σ2的无偏估计. ES2= σ2。 而 故 所以, 不是σ2的无偏估计, 但其是σ2的渐近无偏估计. 即 标准二: 有效性(方差最小性) 设 和 是 的两个无偏估计,若 则称 比 更有效. 例7.2.3 设总体X 的方差存在，X1, X2,…, Xn 是来自X的s.r.s,试证: 为E(X)＝μ的无偏估计, 且 比 更有效. 证明: 样本容量越大,样本均值估计值越有效. 标准三: 相合性(一致性) 设统计量 是未知参数 的点估 计量,样本容量为 n , 若对任意 , 则称 为 的相合 估计, 又称一致估计. 关于相合性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的相合性估计量. 2. 设 是 ? 的无偏估计 量, 且 , 则 是 ? 的相合估计量. 由大数定律证明 用切贝雪夫不 等式证明  和 分别为样本均值和样本方差, 则 例7.2.5 设 是容量为n 的一个样本， ① 是 的相合估计量 ② 是 的相合估计量 点估计有使用方便、直观等优点,但它并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法. 1. 区间估计的定义 设总体分布中含有未知参数 ,根据来自该总体的样本, 如果能够找到两个统计量 ,使得随机区间 包含 达到一定的概率,那么,就称该随机区间为未知参 数的区间估计. 即 当 成立时, 称概率 为置信度或置信水平; 称区间 是 的置信度为 的置信区间; 分别称为置信下限和置信上限. 注意: 点估计给出的是未知参数的一个近似值; 区间估计给出的是未知参数的一个近似范围, 并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度. 例7.3.2. 设总体X~N(μ,σ2), 其中 σ2已知, X1,X2,…,Xn为X 的 一个样本, 求一个区间, 使之以1-α的 概率 包含μ的真值. 解(1)选择包含μ的分布已知函数: (2)构造U取值概率为1-α的区间: 不妨设P{|U|λ}=1-α, 则 λ为U的 1-α/2 分位数 即 (3)变形得到μ的1-α置信区间: 所求1-α置信区间为 2. 求置信区间的方法与步骤: 第一步： 构造一个含未知参数的分布已知的随机变量(样本的函数)U, U中除待估参数外不含其它任何未知参数。构造方法： 一般是从未知参数的点估计着手,再进行“加工”来构造。; 第二步：对给定的置信度 ,根据U的分布定出满足 的a,b(叫分位数或临界点); 第三步：利用不等式变形,求出未知参数的 置信区间. 1、单一正态总体均值与方差的区间估计: (1)构造包含μ的分布已知的函数: (2)构造U的 一个1-α区间: (3)变形得到μ的1-α置信区间: 设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， 1） σ2已知, 求μ的置信度为1