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一道习题的推广及应用 西铁一中 杨鹏飞 已知F为抛物线（p0）的焦点，过F作直线与抛物线交于A，B两点，以A、B为切点分别作抛物线的切线L1和L2，切线L1和L2交于点P，求 点P的轨迹方程；2）若三角形PAB的面积的最小值为16，求抛物线方程。 解：1）如图： 设A（x1,y1）B(x2,y2) ,直线AB的方程…① 由 得所以 将方程代入得： 所以以A为切点的切线方程为：…② 所以以B为切点的切线方程为：…③ 联立②③求得：， 所以 P的轨迹 2） 所以 所以： 所以 当且仅当k=0时取等号，所以 所以所求抛物线方程为 从此题的解答中我们有如下发现： P点坐标的特殊性，其横坐标为，恰为A,B两点的重点的横坐标；其纵坐标为定值，其轨迹恰为准线。 AB⊥FP，这个特殊的位置关系为我们提供了研究该抛物线的切线提供了依据。 我们以此为题根，更好的解决其它问题。 例题：（2006年全国Ⅱ） 已知抛物线 的焦点为F，A、B是抛物线上两个动点，且 （λ0）,过A、B分别作抛物线的切线，设其交点为M。 证明为定值。 设三角形ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式，并求出S的最小值。 解：分析： 由题根显然有：（下证之） 设：AB 因为，所以设直线AB: 将直线代入得： 所以…③ 由得：，所以 所以A处的切线为：…① 所以B处的切线为：…② 由方程①②解得：， 所以：， 所以： 2） （此步之前均属于题根，不需考虑） 因为，所以…④ 由③④得： 当且仅当时取得最小值4. 小结：在题根的前提下解决此题，大大降低思维难度，因此我们做题要多一些思考，多形成一般性的结论。 如果我们把条件中的过焦点F改为过Y轴上的定点N（0，m），那么两条切线的交点P的坐标有何变化？ 已知抛物线，直线l过定点N（o,m），交抛物线于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，两线交于P点。 解：设：AB 设直线AB: 代入得 所以 由得：，所以 所以A处的切线为：…① 所以B处的切线为：…② 由方程①②解得：， 由此可见，交点P的横坐标不变，其纵坐标成规律性变化，与其过的定点N（0，m）相关联。但此时AB与PN不再垂直。 由上述解答我们发现，交点P的横坐标不变，并与A、B两点的终点坐标一致，这给我们提供了抛物线的切线的尺规作图方法： 对于抛物线上任一点P（非顶点），过P任作直线l交Y轴于M（0，m）, 交抛物线于Q，在做直线y=-m,由P、Q分别向直线y=-m作垂线，垂足分别为P1、Q1， 再取P1Q1的中点N，连接PN，则直线PN为所求切线。 无独有偶，2007年江苏卷的第19题便考到此问题。 ABCPQO A B C P Q O x y l 如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点　一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点　 （1）若，求的值；（5分） （2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由　（4分） ABCPQOxy A B C P Q O x y l 将该方程代入得　 令，，则　 因为，解得， 或（舍去）　故　 （2）由题意知，直线的斜率为　 又的导数为，所以点处切线的斜率为， 因此，为该抛物线的切线　 （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设　 若为该抛物线的切线，则， 又直线的斜率为，所以， 得，因，有　 故点的横坐标为，即点是线段的中点　 知识小结： 已知抛物线，直线l过焦点F，交抛物线于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，两线交于P点，过A、B分别做准线的垂线，垂足分别为A1、B1，连接AB1，A1B，A1F、B1F、去AB中点N，连接NP。设AB 有如下结论： 1）坐标关系：；； 2）垂直关系：AP⊥PB；AB⊥FP； 3）共线关系：三点；三点。 有了这些一般性结论，我们解决此类问题则更加游刃有余也。