向量法在空间角与空间距离问题中的的应用.doc

空间角与距离问题的向量解法 空间角与距离问题是历年高考考查的重点内容之一,它也是高考中考生失分率较高的内容这一.高二（下）人教社试验修订版教材中引入的空间向量内容对解决空间角与距离问题是一个很好的补充,本文举例说明向量知识在解决此类问题中的应用,以供读者参考. 一、空间角问题的向量解法 1、易建立空间直角坐标系的空间角问题 1.1异面直线所成的角的向量解法 易知异面直线所成的角与对应向量所成的角相等或互补. 例1 如图1,已知ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1 、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成的角的余弦值（ ） A、 B、 C、 D、 解：如图1示,建立空间直角坐标系C－xyz, 令CA=i,CB=j, CC1=k,则可得A（1，0，0）, B（0，1，0）,F1（，0，1）,D1（，，1） ∴AF1=（－，0，1） BD1=（，－，1） ∴cos＜AF1，BD1＞= ∴BD1与AF1所成的角的余弦值为,即选A答案. 1.2 直线和平面所成的角的向量解法 易知斜线与平面的法向量所在直线所成的锐角和 斜线与平面所成的角互余.故直线和平面所成的角 问题可转化为该直线与平面的法向量所成的角问题. 例2 如图2,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长 为a,侧棱长为a,若经过角线AB1且与对 角线BC1平行的平面交上底面于DB1,求A1B1 与平面AB1D所成的角. 解：如图2,建立空间直角坐标系A－xyz,易证D为A1C1的中点,则 A（0，0，0）,B（0，a，0）,C1（a,,a）,B1（0，a,a）,D（a,,a） 设平面AB1D的法向量为n（x,y,z） ∴ ∴ ∴ x+y+2z=0 2y+z=0 令y=，则x=，z=－2 ∴n =（,,－2） ∴cos＜n，A1B1＞= ∴A1B1与平面AB1D所成的角θ=－arccos=arcsin 1.3 二面角的向量解法 二面角的向量解法一般有二种思路:①转化为二面角的二个面内分别与二面角的棱垂直的向量的夹角;②转化为分别与二面角的两个面垂直的法向量的夹角. 例3 如图3,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC=,求二面角A－PB－C的大小. 解：如图3,建立空间直角坐标系A－xyz,则A（0，0，0）, B（，1，0）,C（0，1，0）,P（0，0，1） 法一：分别过A、C两点作PB的垂线,垂足分别为E、D. 则二面角A－PB－C的大小等于向量EA、DC的夹角. 易知E（，，）,D（，，） cos（EA,DC）== ∴二面角A－PB－C的大小为arccos 法二：设平面PAB的法向量为m（x,y,z）则 ∴ ∴ ∴ y=－x 令x=1，则m=（1，－，0） z=0 同理可求得平面PBC的法向量n=（0，－1，－1） ∴cos＜m，n＞== ∴二面角A－PB－C的大小为arccos 2、不易建立空间直角坐标系的空间角问题 由空间向量基本定理知,空间任一向量可用一组基底表示,故此类空间角问题一般可通过向一组基底转化来解决. 例4 如图4,∠BOC在平面α内,OA是平面α的一条斜线, 若∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC=a. ①求异面直线OB与AC所成的角. ②求直线OA与平面α所成的角. ③求二面角A－OB－C的大小. 解：①由已知得∠BOC=90° ∵ =0－cos60°=－a2 cos＜OB，AC＞==－ ∴＜OB，AC＞=120°,即异面直线OB,AC所成的角为60°. ②设平面α的法向量n=xOA+yOB+zOC 则 ∴ 令x=2，则y=－1，z=－1 ∴n=2OA－OB－OC ∴cos＜n，OA＞==－， ∴＜n，OA＞=135° ∴＜n，AO＞=45° ∴在线OA与平面α所成角的角为：90°－45°=45° ③设平面AOB与平面COB的法向量分别为n1=x1OA+y1OB+z1OC，n2=x2OA+y2OB+z2OC 同②可求得n1=2OA－OB－2OC， n2=2OA－OB－OC ∴cos＜n1，n2＞== ∴二面角A－OB－C的大小为arccos 二、空间距离问题的向量解法 空间距离主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离、两平面间距离、异面直线的距离.由于直线到平面的距离与两平面间距离通常转化为点到平面的距离来解决,故本文只对