2009xu利用空间向量解决空间距离问题.ppt

例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,∠ACB=90°, 求B1到面A1BC的距离. 解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). ∵ , ∴ 或∵ , ∴ 或∵ , ∴ 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关. * * * 立体几何中的向量方法 ------距离问题 一、求点到平面的距离 一般方法： 利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。 还可以用等积法求距离. 向量法求点到平面的距离 其中 为斜向量， 为法向量。 二、直线到平面的距离 其中 为斜向量， 为法向量。 l 三、平面到平面的距离 B A a M N n a b 四、求异面直线的距离 方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 E F 点到平面的距离： 直线到平面的距离： 平面到平面的距离： 异面直线的距离： 四种距离的统一向量形式： 例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 D A B C G F E x y z 例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 D A B C G F E x y z z x y A B C C1 即 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 E A1 B1 z x y C C1 A1 B1 A B 练习: 如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。 O A B C D E 图2 〈二〉空间“距离”问题 1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算， 利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题 转化为求向量模长问题 〈二〉空间“距离”问题 2. 点到面的距离 设n为平面 的一个法向量，AB是面 的一条斜线，A为斜足。根据向量在轴上射影的概念 ，点B到面 的距离等于向量 在n上的射影的长度， 所以 B A n 〈二〉空间“距离”问题 3. 异面直线间的距离 n C D C、D分别是 上任一点，则 间的距离 可转化为向量 在n上的射影长， 故 设 为两异面直线，其公共法向量为 n, 例2 如图，ABCD是矩形， 面ABCD， PD=DC= , AD= ，M、N分别是 AD, PB的中点，求点A到面MNC的距离 A P D C B M N (1) 求B1到面A1BE的距离； 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： (2) 求D1C到面A1BE的距离； 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离； 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： (4) 求异面直线D