空间向量的应用–求空间角与距离.ppt

利用向量求空间角 1．求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两直线l1，l2的方向向量，则 2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ. 则sinθ＝ ＝ . (2)设n1、n2是二面角α－l－β的两个角α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(b)(c)所示)． 科目一考试网 / 科目一模拟考试2016科目四考试网 / 科目四模拟考试驾校一点通365网 / 驾校一点通2016科目一 科目四驾驶员理论考试网 / 2016科目一考试 科目四考试 (3)两异面直线的距离的求法 若CD是异面直线a，b的公垂线段(其中n与a，b均垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点)，a、b间的距离： d＝ . 2．(2009·江西，9)如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为(　　) A．O－ABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACD C．直线AD与OB所成的角是45° D．二面角D－OB－A为45° [解析]　将四面体嵌入正方体，易知A、C、D正确． [答案]　B 3．在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD＝2AB＝2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________． (2011·惠州二模)如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E、F分别是线段PA、CD的中点． (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求异面直线EF与BD所成角的余弦值． (1)[证明]　由于平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD， 而∠PAD＝90°即PA⊥AD， PA?平面PAD 由面面垂直的性质定理得：PA⊥平面ABCD. (2)[解]　解法一：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 解法二：取BC的中点M，连结EM、FM，则FM∥BD， ∠EFM(或其补角)就是异面直线EF与BD所成的角． 设PA＝2，则AD＝DC＝CB＝BA＝2， (2010·课标全国，18)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD， AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值． [解]　以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)． (1)设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)， 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB之中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小． [解]　建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则由E、F是AA1、AB之中点，有E(2,0,1)，F(2,1,1)． [点评与警示]　求二面角，可以有两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两上向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π〈－n1，n2〉)． 　 (2011·广州一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2. (1)求证：AB1∥平面BC1D； (2)若四棱锥B－AA1C1D的体积为3，求二面角C－BC1－D的正切值． (1)[证明]　连结B1C，设B1C与BC1相交于点O，连结OD ∵四边形BCC1B1是平行四边形 ∴点O为B1C的中点． ∵D为AC的中点， ∴OD为△AB1C的中位线， ∴OD∥AB1. ∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D， ∴AB1∥平面BC1D. [分析]　由平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC，BA＝BC，可知本题可以取AC中点O为坐标原点，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用向量法求解． 4．用向量方法求直线与平面所成的角．一般是通过求直线的方向向量与平面法向量所成的角来求，求二面角的大小是通过求两个面的法向量所成的角来求． 0＜〈a，b〉＜π |cos〈a，n〉| [答案]　D [答案]　30° [答案]　B * *