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工程数学线性代数课后答案

??##第一章行列式

习题11

1.二阶行列式计算

计算\(\begin{vmatrix}23\\45\end{vmatrix}\)

解：根据二阶行列式的计算公式\(\begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}=adbc\)，可得\(\begin{vmatrix}23\\45\end{vmatrix}=2\times53\times4=1012=2\)。

2.三阶行列式计算

计算\(\begin{vmatrix}123\\456\\789\end{vmatrix}\)

解：

方法一：按照三阶行列式的对角线法则。

\(\begin{vmatrix}123\\456\\789\end{vmatrix}=1\times5\times9+2\times6\times7+3\times4\times83\times5\times72\times4\times91\times6\times8\)

\(=45+84+961057248\)

\(=(45+84+96)(105+72+48)\)

\(=225225=0\)。

方法二：利用行列式的性质化为上三角行列式来计算（后续章节会详细介绍这种方法，这里先简单提及思路）。

习题12

1.求排列32514的逆序数

解：

从左至右依次看每个数：

3前面比3大的数个数为0；

2前面比2大的数个数为1（3）；

5前面比5大的数个数为0；

1前面比1大的数个数为3（3、2、5）；

4前面比4大的数个数为1（5）。

所以逆序数\(t=0+1+0+3+1=5\)。

2.确定\(i\)与\(j\)，使排列\(1274i56j9\)为偶排列

解：

已知排列为\(1274i56j9\)，先计算当前排列的逆序数（暂不考虑\(i\)和\(j\)）。

1前面比1大的数个数为0；

2前面比2大的数个数为0；

7前面比7大的数个数为0；

4前面比4大的数个数为3（7）；

5前面比5大的数个数为2（7、6）；

6前面比6大的数个数为1（7）；

9前面比9大的数个数为0。

此时逆序数\(t_1=0+0+0+3+2+1+0=6\)。

要使排列为偶排列，则\(i\)与\(j\)产生的逆序数应为偶数。

当\(i=8\)，\(j=3\)时：

对于\(i=8\)，8前面比8大的数个数为1（9）；

对于\(j=3\)，3前面比3大的数个数为5（7、4、8、5、6）。

此时总的逆序数\(t=6+1+5=12\)，排列为偶排列。

习题13

1.利用行列式定义计算\(\begin{vmatrix}0001\\0020\\0300\\4000\end{vmatrix}\)

解：

根据\(n\)阶行列式的定义\(D=\sum_{p_1p_2\cdotsp_n}(1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdotsa_{np_n}\)，其中\(p_1p_2\cdotsp_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一个排列，\(t\)是这个排列的逆序数。

在此行列式中，只有当\(p_1=4\)，\(p_2=3\)，\(p_3=2\)，\(p_4=1\)时，\(a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}\neq0\)。

此时排列\(4321\)的逆序数\(t=3+2+1+0=6\)。

所以\(\begin{vmatrix}0001\\0020\\0300\\4000\end{vmatrix}=(1)^6\times1\times2\times3\times4=24\)。

2.计算\(n\)阶行列式\(\begin{vmatrix}a0\cdots01\\0a\cdots00\\\vdots\vdots\ddots\vdots\vdots\\00\cdotsa0\\10\cdots0a\end{vmatrix}\)

解：

根据行列式定义，\(D=\sum_{p_1p_2\cdotsp_n}(1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdotsa_{np_n}\)。

当\(p_1=n\)，\(p_2=n1\)，\(\cdots\)，\(p_{n1}=2\)，\(p_n=1\)时，\(a_{1p_1}a_{2p_2}\cdotsa_{np_n}=1\timesa\times\cdots\timesa\times1\)，此时排列\(n(n1)\cdots21\)的逆序数\(t=\frac{n(n1)}{2}\)。

当\(p_1=1\)，\(p_2=2\)，\(\cdots\)，\(p_{