第六节 平面与其方程.ppt

一、平面的方程 例1.求过三点 解二 2、平面的一般方程 任给三元一次方程 例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 当平面与三坐标轴的交点分别为 例4 求过点(2, 3,3) 且在 x 轴和 y 轴上截距分别为 二、两平面的夹角 内容小结 例. 解 设球心为 上页 下页 返回 结束 平面的方程 两平面的夹角 第六节 平面及其方程 点到平面的距离 点法式方程 一般方程 截距式方程 上页 下页 返回 结束 1.平面的点法式方程 如果非零向量 垂直于平面 则称向量 为平面 的法向量. 垂直于平面的任一非零向量都可作为该平面的法向量. 平面法向量： 设平面过点 为平面 的法向量, 上页 下页 返回 结束 平面的点法式方程： 且以 求平面 的方程. 设 为平面上任意一点, 则 得 称为平面的点法式方程. 而 化简得 解 取该平面的法向量 的平面的方程. 利用点法式得平面的方程 上页 下页 返回 结束 在平面上, 即可通过三阶行列式来计算平面的方程: 一般地, 过三点 的平面方程为: 上页 下页 返回 结束 称为平面的三点式方程. 设 为平面上任一点, 则三向量 共面, 因此, 混合积 由平面的点法式方程 化简得 这是一个三元一次方程. 该方程唯一确定一张以 因此,三元一次方程表示平面, 为法向量的平面, 平面的一般方程. 称三元一次方程为 上页 下页 返回 结束 几种特殊情况： 平面过坐标原点； 平面通过 x 轴； 平面平行于x 轴； 平面平行于xOy 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 平面一般方程: 1 , 0 D = , 0 D 上页 下页 返回 结束 垂直于x 轴 解 因平面过 x 轴 , 可设平面方程为 代入已知点 ,得 所求平面方程 上页 下页 返回 结束 解: 上页 下页 返回 结束 则所求平面方程为 例3. 求过点( 1, 1, 2) 且与平面 平行的平面的方程. 即 上页 下页 返回 结束 因平面过原点, 可设平面为 解 例. 设平面过原点及点 ) 2 , 3 , 6 ( - ,且与平面 8 2 4 = + - z y x 垂直，求此平面方程. 所求平面方程为 隐 称为平面的截距式方程. 时, 平面方程为 上页 下页 返回 结束 a, b, c 分别称为平面在相应坐标轴上的截距. 3. 平面的截距式方程 解 设平面方程为 代入已知点 ,得 所求平面方程为 上页 下页 返回 结束 -2, -3的平面方程. 例5 一平面通过两点 且垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解 设所求平面的法向量为 和 则 的法向量), 故可取 且 所求平面为 化简得 上页 下页 返回 结束 令 化简得 所求平面方程为 解 练习 求过点 ) 1 , 1 , 1 ( ,且垂直于平面 7 = + - z y x 和 0 5 12 2 3 = + - + z y x 的平面方程. 已知平面的法向量 上页 下页 返回 结束 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(取锐角)称为两平面的夹角. 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 两平面位置特征： 例6 研究以下各组平面的位置关系： 解 故两平面相交，夹角 上页 下页 返回 结束 两平面平行 两平面重合. 又 上页 下页 返回 结束 两平面平行 所以, 两平面平行但不重合． 又 上页 下页 返回 结束 三、点到平面的距离 外一点, 是平面 到平面的距离. 平面法向量为 在平面上任取一点 则P0 到平面的距离为 点到平面的距离公式 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 例7. 确定k 的值, 使平面 满足 (2) 与平面 垂直； (3) 与平面 平行； (4) 与平面 成 角； (5) 与原点的距离为 (6) 在y轴上的截距为 解: (1) 点 满足方程, 即 得： (1) 经过点 并求此平面与 面的夹角； 两平面垂直, 上页 下页 返回 结束 得： 与平面 垂直； (2) 平面 (3) 与平面 平行； 两平面平行, 得： 上页 下页 返回 结束 得： 与平面 成 角； (4) 平面 (5) 与原点的距离为