指数函数与对数函数的关系(反函数).ppt

1．当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。 2．对数函数y=loga x与指数函数y=ax互为反函数，图象关于直线y=x对称。 3 ．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x) 表示。 * 指数函数与对数函数的关系 问题1： 指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a0,a≠1)有什么关系? 对应法则互逆 y=ax x=loga y y=loga x 指数换对数 交换x,y 指数函数y=ax与对数函数x=loga y(a0,a≠1)有什么关系? (0,+∞) R y x y=ax R (0,+∞) x y x=loga y 值域 定义域 因变量 自变量 函数 称这两个函数互为反函数 对应法则互逆 指数函数y=ax是对数函数x=loga y(a0,a≠1)的反函数 指数函数y=ax(a0,a≠1) 对数函数y=logax(a0,a≠1) 反函数 观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的图像,分析它们之间的关系. 函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像关于直线y=x对称 (1,0) (0,1) O x y y=log2x y=2x y=x P(a,b) Q(a,b) 函数y=f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称 注意：y＝f －1(x) 读作：“f逆x” 表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思 例1 写出下列对数函数的反函数: (1)y =lgx; 解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 它的反函数是指数函数 10 y=10x (2)对数函数 它的底数是 它的反函数是指数函数 例2 写出下列指数函数的反函数: (1)y=5x 解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x; (2)指数函数 ,它的底数是 , 它的反函数是对数函数 练习 1.说出下列各组函数之间的关系: (1)y=10x和y=lgx； (2)y=2x和y=log2x; (3)y=ex和y=lnx. 互为反函数, 定义域和值域互换, 对应法则互逆 练习 2.写出下列对数函数的反函数: (1)y=log2.5x; (2)y=logπx; 3.写出下列指数函数的反函数: (1)y=4x; (2)y=1.4x; (1)y=2.5x (2)y=πx (1)y=log4x (2)y=log1.4x 　例3　求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得 所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是 （ｘ∈R ） ｙ＝3ｘ－2　经过两点（0，－2）， （2/3，0） 　经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 0 x y ｙ＝3ｘ－2 ｙ＝ｘ 想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 　的图象之间有什么关系？ 求函数反函数的步骤: 3? 求原函数的值域 1? 反解 2? x与y互换 4? 写出反函数及它的定义域 b＝f(a) a＝f－1(b) 点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上 (1,0) (0,1) O x y y=log2x y=2x y=x P(b,a) Q(a,b) 结论: [例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象 经过点(1, 4)，求a的值. 解:依题意,得 b＝f(a) a＝f－1(b) 点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上 b＝f(a) a＝f－1(b) 点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上 *